Autre méthode possible ? (familles libres ou non)

[math47]

Bonjour à tous,

Voici l'énoncé de mon exercice :
Soient les vecteurs u = (1, 0, 2, 1), v = (0, 3, 0, 1), w = (−1, 3, −2, 0).
1. Montrer que la famille (u, v, w) est liée et déterminer une relation de ces trois vecteurs.
2. Les familles (u, v), (u, w), et (v, w) sont-elles libres ?

J'ai déjà montré que la famille est liée. Je me demandais si pour la 2ème question on pouvait utiliser une propriété/un théorème (celui de la base extraite?) qui m'éviterait de résoudre 3 systèmes (chose que j'ai faite, je trouve d'ailleurs qu'elles sont toutes libres).

Merci d'avance,
Bonne journée
-----

[jacknicklaus]

Bonjour

on voit que u = v - w.

ca aide grandement aux deux questions;

[math47]

Bien observé! Merci beaucoup!

[math47]

Donc si j'écris quelque chose de ce type : "On observe une relation entre ces trois vecteurs : u = v-w ils sont donc liés. Si l'on enlève l'un de ces trois vecteurs, la famille devient donc libre; la relation n'étant plus vérifiée."
Est-ce correct ? Si oui, peut-on m'enlever des points car "c'est pas des maths" ?

Merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite23cdddab]

C'est pas des maths

Prends v = 3u et w=2u. Tu as u=v-w, mais la famille (v,w) n'est pas libre

[math47]

Mince, pour la famille (v,w) j'ai pas ça... Où me suis-je trompé?
Je cherche x,y appartenant à R tels que xv+yw=0
Ce qui nous donne le système suivant :
-y=0
3x+3y=0
-2y=0
x=0
et avec ça on trouve x et y =0 comme unique solution du système alors on peut dire que la famille est libre, non ?

[jacknicklaus]

Mince, pour la famille (v,w) j'ai pas ça... Où me suis-je trompé?

nulle part

C'est pas des maths
Prends v = 3u et w=2u. Tu as u=v-w, mais la famille (v,w) n'est pas libre

Tryss2 montre simplement que la relation u = v-w n'implique certainement pas que (v,w) est libre. Il ne dit pas que dans ton exercice, (v,w) n'est pas libre.


Quant à moi je n'ai pas dit non plus que u = v - w permettait de conclure. J'ai dit seulement que ca aidait :

si pour la 2ème question on pouvait utiliser une propriété [...] qui m'éviterait de résoudre 3 systèmes

Je te laisse réfléchir.