Familles libres

[invite705d0470]

Bonjour

Je cherche à montrer que les familles suivantes sont libres, et je ne pense pas que ce soit infaisable, j'ai juste du passer à côté de quelque chose !
Les premières sont des familles de suites:
-
- , pour laquelle j'ai essayé de trouver des conditions avec des DL ou même de considérer (mais ne sachant pas démontrer la première liberté ...)

Ensuite, je voudrais montrer que pour tout distincts, est une base de . (je pense un peu à des "polynômes interpolateurs" mais modifiés ...):/

Enfin (pour l'instant), je cherche à montrer que le sous espace vectoriel des fonctions du segment (a,b) dans R engendré par la famille est exactement celui des fonctions continues et affines par morceaux, noté G.
On a immédiatement que , j'essaie donc de montrer que .
Soit f un élément de G, qui se décompose de manière unique en n applications affines induites sur n intervalles . Sachant que f est continue et affine par morceaux, la matrice caractérise totalement f (n+1 conditions trouvées par la continuité et le caractère affine aux bords). J'ai essayé de consirérer la famille des pour générer f. J'ai donc essayé de montrer l'existence d'une famille de réels non tous nuls tels que . g étant bien affine, il suffit de trouver les conditions de continuités, qui sont les n+1 données de la matrice Y. En notant , il suffit de trouver un matrice X non nulle qui vérifie le système . Autrement dit, il "suffit" de montrer que A est inversible !
Est-ce une approche correcte ? (j'ai fait un effort en traduisant matriciellement le problème, mais si c'est inutile ou incompréhensible, dites le moi !)

Merci d'avance de m'aider (j'ai cherché tous les exos),

Snowey
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[thepasboss]

Bonjour,

Pour la première famille : une récurrence. Pour l'hérédité on met en facteur l'exponentielle avec le "n" le plus petit,on simplifie, on dérive, et hop récurrence.

je réfléchit au reste.

[invite57a1e779]

Bonjour

Pour la première famille : une récurrence. Pour l'hérédité on met en facteur l'exponentielle avec le "n" le plus grand,on simplifie, calcule la limite en , et hop récurrence.

Pour la troisième famille, même méthode : on factorise par le polynôme de plus haut degré et on obtient une fraction rationnelle nulle, donc la partie entière de cette fraction est nulle, et hop récurrence.

[thepasboss]

Tiens, message étrangement semblable

Sinon pour la deuxième (avec les exp(ix^n) ) on peut cette fois partir d'une combinaison linéaire, dériver, simplifier par le facteur x^(n-1)exp(ix^n) qui apparait avec le n le plus grand, puis faire tendre x vers l'infini (comme les exponentielle sont bornées).

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaba0ef6b]

Bonjour,

Tu représente comment une fonction constante? Les doivent annuler les x, mais dès que tu passes le premier des t'as
un changement de signe et les x ne s'annulent plus, non?

[invite705d0470]

Merci beaucoup à tous pour ces "astuces" (que je devrais maîtriser sur le bout des doigts )

Pour KilyBurny, je ne vois pas où est le problème, et j'ai essayé de prendre un contre exemple, mais je suis tellement fatigué que je n'arrive pas à inverser correctement un simple matrice 3x3.
Si je considère f sur l'intervalle (0,1) affine, continue telle que f(0)=f(1/2)=2 (donc constante sur un intervalle) et f(1)=1, et que je considère , et , alors il me suffit d'inverser la matrice suivante pour trouver un vecteur solution ... M'enfin, en m'y prenant 3 fois (en calculant la comatrice (mais impossible de voir mon erreur ! :P) , puis avec Gauss et enfin en résolvant bêtement le système initial) je trouve trois résultats différents, le plus cohérent étant ! Bref, on trouve le vecteur (à quelque chose près ...) et du coup on trouve bien (à vérifier sur une calculette par exemple ^^)

Bon, si c'est pas ça, n'hésitez pas à me corriger !

[invite705d0470]

Donc, pour les familles, je récapitule les hérédités:

1) et donc en l'infini.



2) On établit un cas un peu plus général (puis on passe à la partie réelle), , .
J'en tire alors , et donc ? J'ai surement mal rédigé, parce que ça ne me parait pas entièrement convenable ... !

God'sBreath, je n'ai pas compris, en revanche, comment faire: tous les monômes ont le même degré, non ?

Bon, et si personne ne s'intéresse aux fonctions continues et affines sur un intervalle ...

Merci encore à tous

[thepasboss]

Comme on parle de fonction à valeur complexe, le passage à la limite du premier cas me parait très limite en l'état. Pour le deuxième sinon c'est juste, car k-kmax est strictement négatif donc tous les facteurs tendent vers 0 (puisque les exponentielles complexes sont bornées).

[invite705d0470]

Aie !! Quelle horreur

[invite57a1e779]

Comme on parle de fonction à valeur complexe, le passage à la limite du premier cas me parait très limite en l'état.

La variable est réelle, on peut donc considérer sans problème la limite lorsque la variable réelle tend vers .

[invite57a1e779]

God'sBreath, je n'ai pas compris, en revanche, comment faire: tous les monômes ont le même degré, non ?

Effectivement, j'ai mal lu l'énoncé.

La matrice de la famille des dans la base canonique a pour élément générique : . On calcule facilement le déterminant de cette matrice : chaque ligne contribue pour un facteur non nul et il reste le déterminant d'élément générique : qui, à l'ordre des lignes près, est un déterminant de Vandermonde donc non nul puisque les sont deux à deux distincts.

Bon, et si personne ne s'intéresse aux fonctions continues et affines sur un intervalle ...

Il suffit de prouver, en généralisant ton message #6, que pour tout nombre réel appartenant à , les fonctions définies sur par :



appartiennent à car elles sont combinaison linéaire de la famille; ensuite, la famille engendre, me semble-t-il, .

[thepasboss]

Moui, et les exponentielles obtenues tendent vers quoi au juste ? Parce que pour moi l'exponentielle de i fois (- l'infini ) ça donne pas grand chose étant donné qu'on parle d'une fonction périodique.

[invite705d0470]

Mais God's Breath, pourquoi ma méthode (du message 1) n'est elle pas correcte ?

Je ne comprends pas pourquoi chercher ces deux fonctions intermédiaires (certes un peu plus simples) si on peut montrer que toute donation de G s'écrit comme combinaison linéaire des éléments de la famille F (valeurs absolues). Merci beaucoup de m'aider

[Seirios]

Enfin (pour l'instant), je cherche à montrer que le sous espace vectoriel des fonctions du segment (a,b) dans R engendré par la famille est exactement celui des fonctions continues et affines par morceaux, noté G.
On a immédiatement que , j'essaie donc de montrer que .
Soit f un élément de G, qui se décompose de manière unique en n applications affines induites sur n intervalles . Sachant que f est continue et affine par morceaux, la matrice caractérise totalement f (n+1 conditions trouvées par la continuité et le caractère affine aux bords). J'ai essayé de consirérer la famille des pour générer f. J'ai donc essayé de montrer l'existence d'une famille de réels non tous nuls tels que . g étant bien affine, il suffit de trouver les conditions de continuités, qui sont les n+1 données de la matrice Y. En notant , il suffit de trouver un matrice X non nulle qui vérifie le système . Autrement dit, il "suffit" de montrer que A est inversible !
Est-ce une approche correcte ?

L'approche est tout à fait correcte, et pour terminer le raisonnement, je te propose de calculer le déterminant de A :

En sommant la dernière colonne aux autres colonnes, on obtient : .

Ensuite, en soustrayant la dernière ligne aux autres lignes, puis en développant par rapport à la première colonne, on obtient : .

En simplifiant les produits, on aboutit finalement à .

[invite705d0470]

Merci beaucoup d'avoir mené le calcul du déterminant ! (qui confirme que À est inversible, ouf ^^)

PS: c'est un + (le coefficient du -1 est i+j, donc un n+1 apparaît en développant la dernière ligne, et il est compensé par l'exposant n-1 qui provient du produit)