Somme de la série X^K

[armiss]

Je suggère une solution pour la somme de cette série dans le domaine des entiers. Cette solution que je trouve aussi attractive que celle présentée par les nombres de Bernoulli.

Exemple :

Récurrence des A_i^k :

Symétrie des coefficients A_i^k :

Triangle des coefficients A_i^k :

k=1 ...1
k=2 ...1.....1
k=3 ...1.....4........1
k=4 ...1.....11......11.........1
k=5 ...1.....26......66.........26 .........1
k=6 ...1.....57......302.......302 ........57.........1
k=7 ...1.....120....1191......2416 ......1191.....120......1

Observation: A_i^k possède aussi son expression sans récurrence.
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[GBZM]

Bonjour,

Pas mal, et déjà connu. Ces nombres sont connus comme nombres Eulériens. Ils figurent dans la "Online Encyclopedy of Integer Sequences" sous la référence A008292 : https://oeis.org/A008292. Le lien avec les sommes de puissances d'entiers y est mentionné :

The Eulerian triangle is an element of the formula for the r-th successive summation of Sum_{k=1..n} k^j which appears to be Sum_{k=1..n} T(j,k-1) * binomial(j-k+n+r, j+r). - Gary Detlefs, Nov 11 2011

.
On peut voir le début du triangle Eulérien ici : https://oeis.org/A008292/table

[azizovsky]

Il y'a un lien entre les nombres de Bernoulli et les nombres d'Euler :

[armiss]

j'ai travaillé je peux dire sur les nombres eulériens il y a plus de 20 ans sans connaître ce qu'a fait Euler et les autres dans le passé ! ( c vrai que une poignée de mathématiciens et de physiciens monopolisent toute la science ! ) je ne sais pas si je peux parachuté mon brouillon PDF sur le forum a propos du sujet ?.
je ne demande pas des droits seulement que mon travail soit valoriser par d'autres contributions sur certains détails que je vois important dans mon document ancien. Comme observation ma notation pour la combinaison était différente, ce qui crée une certaine difficulté pour le lecteur.

Boukhari Driss.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

"c (c'est ?) vrai que une poignée de mathématiciens et de physiciens monopolisent toute la science !"
Une sacrée poignée, rien qu'en France il y a des dizaines de milliers de monopolisateurs !!
Mais eux le font professionnellement et avant d'afficher des résultats, vérifient qu'ils ne sont pas déjà connus. Et généralement, utilisent les notations que tout le monde utilise.
Il y a aussi parmi eux une poignée (une vraie poignée, cette fois-ci) d'amateurs éclairés et doués, qui, eux aussi se mettent au courant de l'état de l'art. Donc si ton document apporte quelque chose de nouveau, pourquoi pas le publier. Mais renseigne-toi avant (avant de publier, et surtout avant par exemple qu'un prof de prépa te dise qu'il a donné ça comme sujet d'exercice en première année).

Cordialement