Factorisation dans N

[TheaGracias]

Bonsoir à tous
Soit n un nombre impaire dans N .
Est-il possible de factoriser dans N l'expression
A=n²-2
Merci d'avance pour votre réponse.
Si oui votre méthode s'il vous plaît.
Merci encore
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[gg0]

Bonjour.

Tout dépend de ce qu'on appelle une factorisation. Si tu veux dire écrire n²-2=(an+b)(cn+d) avec a, b, c, d entiers constants, alors la réponse est non. Cela provient du fait que alors ab=1, donc a=1 et b=1 (ce sont des entiers) et que la seule factorisation "simple" dans IR de n²-2 est
,
donc b et d ne seront pas des entiers.
J'ai appliqué ce qu'on apprenait naguère en première S ou STI, sur les polynômes et leurs factorisations. Au besoin, je peux détailler.

Cordialement.

NB : S'il s'agit de factorisations variables, alors pour n pair, on a une factorisation évidente par 2 :

[Resartus]

Bonjour,
La question revient à demander quand n^2-2 est premier.

Il n'y a pas de réponse générale, mais on peut trouver des résultats partiels : certaines séries arithmétiques où on sait que n^2-2 est composé

Puisque, au vu de vos questions précédentes, vous commencez à vous intéresser à l'arithmétique,
je vous suggère d'essayer de démontrer que si n est de la forme 11+14m ou 17+14m, alors n^2-2 est divisible par 7
petit indice : utiliser les congruences modulo 7

Une fois compris comment cela marche, vous devriez trouver sans trop de difficultés d'autres séries de n où n^2-2, est composé, par exemple divisible par 17, par 23, etc.

[TheaGracias]

Bonjour à tous
Merci beaucoup pour vos réponses.

[A voir en vidéo sur Futura]