Trouver une base d'un espace vectoriel

[Marmus1021]

Bonjour ! Je suis en terminale mais j'essaye de voir le chapitre sur les espaces vectoriels pour l'année prochaine.
J'ai trouvé l'exercice suivant :
Déterminer une base de l'ensemble de R³ suivant :
x+2y+3z = 0

Alors il faut trouver une famille libre et génératrice de E (j'ai appelé E cet ensemble).
En résolvant le système, je trouve que les couples (-2r - 3s, r, s) sont solutions, avec r et s des réels. Donc pour r=1 et s=1, j'obtiens le vecteur (-5,1,1). La famille ( (-5,1,1) ) est une famille d'un seul vecteur qui est non nul, c'est donc une famille libre. De plus, soient a un réel et X un élément de E. En résolvant a(-5,1,1) = X, on trouve a=-X/3, donc tout élément de E peut bien s'écrire comme une combinaison linéaire du vecteur, donc la famille est génératrice de E.
Donc si tout ce que j'ai dit est correct (ce qui n'est pas sûr), j'ai trouvé une base de E : (-5,1,1), car la famille ( (-5,1,1) ) est libre et génératrice de E.

Voilà, alors j'aimerais bien que vous me disiez ce qui ne va pas, ce qu'il faut retirer ou ajouter (et si le résultat est correct aussi), car comme je vois ce chapitre tout seul, je n'ai pas de profs pour m'expliquer et me corriger
Merci beaucoup !
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[invite23cdddab]

Pour r=0 et s= 1, on trouve un autre vecteur (-3,0,1), qui est donc dans E, mais pas engendré par la famille ( (-5,1,1 ) )

Ici, tu as deux paramètres r et s qui semblent nécessaires et suffisants pour décrire E, c'est donc que E a de fortes chances d'être de dimension 2 (donc une base avec 2 vecteurs)

[Marmus1021]

Ah oui c'est vrai que ca ne fonctionne pas. Mais comment on fait pour trouver deux vecteurs alors ? On prend les valeurs que l'on veut pour r et s ?

[GBZM]

Bonjour,

Pour continuer les explications de Tryss2 :

Quand tu résous le système linéaire (ici réduit à une seule équation), tu as deux variables libres (tu as choisi y et z) que tu peux fixer à ta guise et x=-2y-3z. Tu as deux degrés de liberté.
Pour trouver une base de l'espace des solutions, tu prends une variable libre égale à 1, les autres égales à 0, et tu fais ça pour chaque variable libre. Ici y=1, z=0, qui donne x=-2 puis y=0, z= 1, qui donne x=-3. Toute solution s'écrit de manière unique sous la forme y(-2,1,0) + z(-3,0,1).

[A voir en vidéo sur Futura]

[GBZM]

Tiens, plus vache : trouver une base de l'espace des solutions du système :

[Marmus1021]

D'accord merci beaucoup pour les explications GBZM !
Et ici on part de R³, et on trouve que les vecteurs peuvent s'exprimer en fonction de seulement deux coordonnées : y et z. Ce n'est pas gênant ? Je ne vois pas trop ce que cela représente géométriquement.
Je vais essayer votre exemple plus vache
Merci encore.

[GBZM]

Ton équation est l'équation d'un plan dans . Deux coordonnées dans un plan, quoi de plus normal ?