Base d'un espace vectoriel

[ldesmet]

Bonjours à tous !

Je demande de l'aide pour que quelqu'un m'éclaire. Voila le doute :

Pour moi une base est une famille libre et génératrice.
Dans un EV de dimension 3, il suffit de montrer que la famille comportant 3 vecteurs est libre. Cette seule hypothèse permet d affirmer que c'est une base.
Idem pour des EV de dimension 4, la famille de 4 vecteurs, si elle est libre est une base.

Mais je ne comprends pas cet exercice :

"Dans R^4, montrer que E, étant l'ensemble des vecteurs (a,b,c,d) tels que a+b+c+d=0 est un SEV de E.
Donnez en une base"

Il y a aucun problème pour la premiere question, mais dans la correction, une base de E est composé que de 3 vecteurs. Et la je ne comprends pas, pourquoi ca ne devrait pas etre une base de 4 vecteurs.

Merci de vos réponses.
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[invite151d8810]

C'est pas forcément l'endroit approprié pour cette question, mais je vais quand même y répondre

Mais question: L'énoncé est écrit comme ça ? Parce que "montrer que E est un SEV de E" (en gros , c'est ce qui ressort de ton énoncé), comme c'est un SEV trivial, ça va. Mais comment E peut être ici ET l'ensemble des vecteurs (a,b,c,d) tels que a+b+c+d=0, ET en même temps un autre ensemble dont il est lui-même SEV ? T'es sûr que c'est pas R^4 à la place de ton dernier E ?

[ldesmet]

Merci mat-48,

Voici l’énoncé mots pour mots :

"Dans R^4 on considère l'ensemble E des vecteurs (a,b,c,d) telle que : a+b+c+d=0.
E est il un SEV de R^4 ? Si oui, en donner une base"

PS: J'ai essayé de posté cette discussion dans la partie exercice mais on me refuser l'accès...

[invite151d8810]

Ah oui, avec R^4 c'est mieux quand même. Il faut savoir qu'un SEV d'un ensemble n'a pas forcément la même dimension que l'ensemble. D'ailleurs, le seul SEV d'un ensemble qui a la même dimension que lui, c'est lui-même. En gros ici, le seul SEV de dimension 4 (et donc qui aurait une base de 4 vecteurs), c'est R^4 (on l'appelle SEV trivial). Par exemple, l'ensemble vide est un SEV de R^4, mais il est de dimension 0 (aucun vecteur ne le compose, il est vide !).

Ici, ton SEV, c'est donc l'ensemble des vecteurs dont les composantes sont a,b,c et d (A moins que j'ais mal compris la question, et qu'en fait a,b,c et d sont des vecteurs à 4 composantes, dans ce cas je donnerai une autre réponse). Si c'est le cas, je te répondrai autrement) tels que a+b+c+d=0. On a donc facilement d= -a-b-c. Ta famille n'est plus libre ! Tu aurais donc E= (a,b,c, -a-b-c), ce qui donne a*(1,0,0,-1)+b*(0,1,0,-1)+ c* (0,0,1,-1). Tu aurais donc comme base les 3 vecteurs entre parenthèses, donc ta base a 3 vecteurs.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite151d8810]

Ah oui, avec R^4 c'est mieux quand même. Il faut savoir qu'un SEV d'un ensemble n'a pas forcément la même dimension que l'ensemble. D'ailleurs, le seul SEV d'un ensemble qui a la même dimension que lui, c'est lui-même. En gros ici, le seul SEV de dimension 4 (et donc qui aurait une base de 4 vecteurs), c'est R^4 (on l'appelle SEV trivial). Par exemple, l'ensemble vide est un SEV de R^4, mais il est de dimension 0 (aucun vecteur ne le compose, il est vide !).

Ici, ton SEV, c'est donc l'ensemble des vecteurs dont les composantes sont a,b,c et d (A moins que j'ais mal compris la question, et qu'en fait a,b,c et d sont des vecteurs à 4 composantes, dans ce cas je donnerai une autre réponse). Si c'est le cas, je te répondrai autrement) tels que a+b+c+d=0. On a donc facilement d= -a-b-c. Ta famille n'est plus libre ! Tu aurais donc E= (a,b,c, -a-b-c), ce qui donne a*(1,0,0,-1)+b*(0,1,0,-1)+ c* (0,0,1,-1). Tu aurais donc comme base les 3 vecteurs entre parenthèses, donc ta base a 3 vecteurs.

[ldesmet]

Très bien, donc, un SEV de R^5 peut avoir une base de 3 vecteurs par exemple ?

[invite151d8810]

Oui tout à fait. Mais un SEV n'a jamais une base avec plus de vecteurs que l'espace vectoriel de départ, logique.