trouver une base d'un sous espace vectoriel

[invite06c79ae8]

Bonjour à tus !
Actuellement en L1 PCSPI, je prépare mes td d'algèbre pour la semaine prochaine, mais je rencontre certaines difficultés pour un exercice :
F= {(x, y, z) dans E / x+2y+z = 0, et y-z +t =0}
On nous demande de trouver une base de ce sous espace vectoriel. Je résous le système :
x+ 2y + z =0
y - z + t =0
avec le pivot de gauss, je fais L2 - 2L1 , je trouve :
y = z- t
x = 2t - 3z
Donc F = {( 2t-3z, z-t , z, t ]} = Vect( u, v)
donc, je trouve u = ( 2, -1 ,1 , 0 ) et v =( -3, 1, 1, 0). En les additionnant on retrouve les cordonnées.
Mais le problème c'est que dans la correction, je trouve : u= (0, 1, -2, 3) et v= ( -2, 1, 0, -1)
Pouvez vous m'aidez ??!
Merci pour toutes réponses,
@+
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[acx01b]

les coordonnées sont (x,y,z,t) ?

x+2y+z = 0 et y-z +t =0
u = ( 2, -1 ,1 , 0 ) et v =( -3, 1, 1, 0)

u ne respecte pas x+2y+z = 0
u et v ne respectent pas y-z +t =0

[invite06c79ae8]

moui... Par contre les vecteurs trouvés dans la correction respectent les équations. Donc, ma méthode n'est pas la bonne, et il suffit juste de trouver des vecteurs de coordonnées respectant les conditions du sous-espace vectoriel ?

[acx01b]

u= (0, 1, -2, 3) ne respecte pas y-z+t = 0

ça ne serait pas u= (0, 1, -2, -3) plutôt ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[acx01b]

il suffit juste de trouver des vecteurs de coordonnées respectant les conditions du sous-espace vectoriel ?

ben il suffit de trouver K vecteurs linéairement indépendant et qui sont dans le sous-espace vectoriel (i.e. qui respectent les équations) pour avoir une base du sous-espace vectoriel de dimension K

tu as déterminé que K=2 puisque (x,y,z,t) c'est de dimension 4, et les deux équations sont indépendantes