base de sous espace vectoriel

[stefouf2025]

Bonjour,

Voici mon énoncé : donner la dimension puis la base du sous espace vectoriel G={(x,y,z,t) de R^4 +2y-z=0,x+y-z-t=0},

pour déterminer la base j'ai trouver une famille génératrice en procédant de la manière suivante :
résolution du système:
x+2y-z=0 (1) et x+y-z-t=0 (2)
d'après (1) : x=-2y+z et en injectant (1) dans (2) on obtient : (2) y=-t
au final, j'obtiens x(0,0,0,0)+y(-2,0,0,0)+z(1,0,1,0)+t(0,-1,0,1)
j'ai testé cette famille de vecteurs est bien lire mais si on prend le vecteur (2,0,0,0) il ne satisfait pas l'équation : x+2y-z=0
Je ne vois pas comment j'ai pu me tromper, je pense avoir suivi la bonne démarche de calcul ?
Pouvez-vous m'indiquer mon ou mes erreurs ?
Merci d'avance.
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[toothpick-charlie]

bonjour,

chacune des deux équations définit un hyperplan de R^4, soit un sev de dimension 3. G est l'intersection de 2 hyperplans, il ne faut pas s'attendre à ce qu'il soit de dimension 4.

[stefouf2025]

Donc mes 3 vecteurs sont corrects ? je dis 3 vecteur car le vecteur de coordonnées x(0,0,0,0) je ne le compte pas du cou.
Donc c'est de dimension 3 d'après mes 3 vecteurs y,z,t trouvés ?

[gg0]

Bonsoir.

Il n'y a aucun lien entre :

d'après (1) : x=-2y+z et en injectant (1) dans (2) on obtient : (2) y=-t

et

au final, j'obtiens x(0,0,0,0)+y(-2,0,0,0)+z(1,0,1,0)+t(0,-1,0,1)

qui ne veut rien dire, d'ailleurs car cette somme (qui vaut (-2y+z,t,z,t)) n'est généralement même pas un élément de G.

Je ne sais pas trop ce que tu as fait, mais en tout cas tu n'as pas traité logiquement les conséquences de (1) et (2).

Il te suffit de tirer les conséquence de cas deux relations.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefouf2025]

Je n'ai pas compris ce que tu veux dire de tirer les consequences ?
Ne peux-tu pas me donner plus de détails j'ai 4 autre sous espaces vectoriel a faire avec 3 équations au lieu de 2.
Si tu me guide pour celle la je pourrai peut-être faire les restantes a 3 équations

[gg0]

Je peux te guider, mais c'est ton exercice, c'est toi qui le fais :

"pour déterminer la base j'ai trouver une famille génératrice en procédant de la manière suivante :
résolution du système:
x+2y-z=0 (1) et x+y-z-t=0 (2)
d'après (1) : x=-2y+z et en injectant (1) dans (2) on obtient : (2) y=-t"
Ok ! Quelle est la suite (les conséquences de cela). Et quel rapport avec G ?

[stefouf2025]

j'ai trouver la famille génératrice je peux donc dire que ces vecteurs permettent d'engendrer le sous espace vectoriel G.
ces vecteur sont bien libre entre eux ils forment donc une base de G ?
mais je ne sais pas trop comment exploiter ces équations la (1) et la (2)

[gg0]

Tu ne réponds pas à ma question,

tu reprends une idée fausse (dont tu devrais avoir compris qu'elle est fausse après ce que je t'ai dit).
Si tu ne veux pas de mon aide, continue à ne pas tenir compte de mes remarques.

NB :

au final, j'obtiens x(0,0,0,0)+y(-2,0,0,0)+z(1,0,1,0)+t(0,-1,0,1)
j'ai testé cette famille de vecteurs est bien lire mais si on prend le vecteur (2,0,0,0) il ne satisfait pas l'équation : x+2y-z=0

Tout est faux : la famille n'est pas libre, puisqu'il y a le vecteur nul; elle n'engendre pas G.

[stefouf2025]

J'accepte tout a fait ton aide mais je ne comprends pas ce que tu me demandes

[gg0]

C'est écrit :

Quelle est la suite (les conséquences de cela). Et quel rapport avec G ?

Et tu réponds tellement vite que je doute fortement de la qualité de ta réflexion. Tu es intelligent, mais ça ne te dispense pas de réfléchir, de lire, de relire pour comprendre. Et de ne pas répondre dans la minute sans avoir rien cherché ...

[stefouf2025]

D'accord tu as raison je vais bien réfléchir à ce que tu me donnes avec cet indice et je te répondrai donc plus tard très certainement demain dans l'après midi.
Je te remercie pour aujourd'hui bonne soirée.