Démontrer qu'un anneau spécifique est un corps

[Alphasaft]

Bonjour,

Il se trouve que j'ai en ma possession un livre de mathématiques (le Ramis) et que j'ai hier commis l'erreur de me promettre que j'allais réussir un exercice qui avait pourtant l'air mignon tout plein.
Je me retrouve maintenant en train d'affronter un énoncé qui, si sûrement bénin pour la plupart d'entre vous, ne l'est pas pour moi (notez la ressemblance amusante avec la Covid).

Voilà l'énoncé en question (je ne maîtrise pas du tout les astuces pour insérer les symboles abracadabrants que les mathématiciens ont l'art d'inventer, on se contentera donc d'un simple "pour tout" en lieu et place du A à l'envers, etc., désolé d'avance ):

Soit (A, +, ×) un pseudo-anneau sur lequel on définit une loi de composition interne additionnelle * définie par a*b = a+b-ab.
Ce pseudo-anneau possède en outre un unique élément e tel que pour tout x de A, e*x != 0.
J'ai réussi sans trop de soucis à démontrer que * est associative et admet 0 pour élément neutre, et que e est l'élément neutre pour ×.
On en déduit évidemment que A est un anneau, mais voilà : il faut démontrer qu'il est un corps... .

Je serais très reconnaissant à celui qui me fournira la solution, et encore plus à celui qui m'indiquera simplement la voie à prendre pour démontrer cette dernière propriété !
Merci d'avance !
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[MissJenny]

bonjour, qu'est-ce que c'est qu'un pseudo-anneau?

[Médiat]

Bonsoir,

, cela devrait vous permettre de trouver l'inverse de

MissJenny : dans un pseudo-anneau la deuxième loi n'a pas forcément de neutre

[Alphasaft]

Un pseudo-anneau c'est un anneau sans l'élément-unité, mais ici cela importe peu puisqu'il est prouvé que c'est un anneau

[A voir en vidéo sur Futura]

[Alphasaft]

Merci beaucoup pour ta réponse, on va voir s'y j'arrive à me débrouiller !

[Alphasaft]

Bon, il s'avère que je suis toujours pas fichu de trouver en fonction de y...
J'en suis venu à la conclusion que, pour tout n de IN, il existe une seule et unique famille telle que , et que par conséquent si , alors et tout est réglé. Mais, pas moyen de démontrer qu'une famille respectant ces conditions existe...

[Alphasaft]

Petite correction : Remplacez "il existe une seule et unique [...]" par "il existe au moins une [...]"

[Alphasaft]

Bon... Petite clarification de ce que j'ai trouvé, sachant que je n'ai aucune idée de si je suis sur la bonne voie...
Il est admis que (on notera cette assertion pour la suite, voir post de Médiat)
Je chercherais à priori une famille d'éléments de A respectant les critères suivants :

(C1)
(C2)
(C3) , ce qui peut également s'écrire

Il existe évidemment une famille respectant (C1), tout comme une famille respectant à la fois (C1) et (C2), en conséquence directe de .
Quant à une famille respectant les trois conditions à la fois, elle serait solution du problème si on pouvait universellement l'exprimer en fonction de x, mais je ne sais ni s'il est possible de ni comment prouver son existence...
Je suis passé au stade "connaître la réponse n'est pas de refus"...

Moralité : Avant de démarrer un exercice de manière inconsidérée, soyez sûrs d'où vous mettez les pieds.

Merci d'avance !

[Médiat]

Bonjour,

Avant de démarrer un exercice de manière inconsidérée, soyez sûrs d'où vous mettez les pieds.

Je confirme et me l'applique, il est clair que la formule de mon premier message est nécessaire (c'est la seule chose que l'on a), par contre, n'ayant raisonné que de tête cela m'avait semblé plus simple.

[Alphasaft]

Je ne pense pas que mon raisonnement soit bon parce que considérer l'infini comme fini n'est jamais très productif. Mais je m'explique :

L'anneau A est non-nul, étant donné qu'il existe .
Or, admettons une famille d'éléments respectant (C1) et (C2). Pour tout k de , on a :

[Alphasaft]

Bon je vais passer pour un imbécile mais j'ai appuyé sur "Envoyer la réponse" au lieu de "prévisualisation" du message... Dites-moi que ça vous est déjà arrivé au moins une fois.
Je reprends :

L'existence d'un tel j supposerait que , or d'après (C2), ces deux expressions doivent être égales.
(C'est là que ma démarche n'est pas très scientifique...)
On en déduit que, la somme de toute suite respectant (C2) n'est jamais contenue dans cette même suite, et qu'« à force », la somme de cette suite devant toujours être différente de chacun de ses membres, en ajoutant de façon successive à cette suite en tant que dernier élément le y tel que puis le y' tel que etc. (on peut être assuré de leur existence puisque devant vérifier , il est évident que ), on finira par obtenir une suite telle que , et par conséquent on obtient .

Je pense que cette démonstration est (à peu près) correcte dans un anneau fini, même si quelques coquilles ont dû se glisser ça et là, mais quant au fait de l'appliquer à un anneau infini comme IR... J'ai un doute.

[Alphasaft]

Je parle tout seul mais j'ai l'habitude de ne pas avoir d'amis donc tout va bien (humour bien évidemment)

, cela devrait vous permettre de trouver l'inverse de

À mon avis, cette propriété n'implique pas directement que existe, c'est le fait que l'ensemble des éléments de A la possède qui permet que tous aient un symétrique : la preuve avec les groupes-quotiens de Z. On notera la surjection canonique.

Z/4Z n'est pas un corps à cause de , qui n'admet aucun symétrique. Cependant, . À l'inverse, s'admet lui-même comme symétrique puisque , mais aucun y de Z/4Z n'est tel que , on a en effet et , et il est évident que et ne peuvent remplir cette condition.

Ici, on voit bien que la propriété sur à elle seule n'implique pas l'existence de et inversement.

Ce qui rend à mon graaaaand plaisir la propriété encore plus ardue à démontrer puisqu'il ne faut pas seulement se baser sur le fait que x la vérifie, mais plutôt sur son unicité sur A.
En outre, cela rend toutes mes tentatives de démonstrations probablement fausses, puisqu'elle se basent quasi-uniquement sur le fait que x seul vérifie la propriété

[GBZM]

Bonjour,

L'involution transforme en (et vice-versa).

La propriété que pour tout , il existe tel que se traduit donc en "pour tout , il existe tel que ".

[Médiat]

Salut,



J'ai eu beau chercher un isomorphisme, je n'ai pas pensé à celui-là, qui paraît tellement évident une fois que quelqu'un d'autre l'a trouvé

[Alphasaft]

Un grand merci à Médiat pour ton aide et à GBZM pour la réponse finale (réponse qui est si simple une fois qu'on l'a trouvée mais que je n'aurais jamais pensé à chercher...) !
Pour clore ce topic donc la démonstration finale, qui n'est qu'une version plus détaillée de celle de GBZM:

peut se traduire, puisque est (démonstration facile, il suffit de calculer) un isomorphisme involutif de (A, *) dans (A, ×), par ou encore , avec et .

Encore merci à tous !

[Alphasaft]

Vous allez rire mais je viens de me rendre compte qu'à cause d'une bête inversion de signe j'ai montré que e*x = x*e alors qu'en réalité ma démonstration est on ne peut plus fausse ... Est-ce que vous pourriez (encore) aider le pauvre hère que je suis, sachant que cette fois une simple piste devrait plus ou moins faire l'affaire.

Encore merci pour votre incroyable patience

[azizovsky]

Je crois que l'énoncé est .

[azizovsky]

Il est autorisé par la loi de mettre un court extrait d’un texte sans enfreindre les droits d’auteur ou le copyright. Donc il n’y a pas de problème ici.

.............

[Alphasaft]

C'est bien ça, heureux de constater que je ne suis pas le seul à connaître ce bouquin ! Si ta question (peut être même ton reproche !) est : pourquoi n'as-tu pas fait une photo ou quoi, la réponse est que je trouvais ça plus simple de simplement recopier les parties intéressantes de l'énoncé, et que j'aime beaucoup la balise TEX, c'était donc l'occasion d'en faire usage B-)

[azizovsky]

Ce pseudo-anneau possède en outre un unique élément e tel que pour tout x de A, e*x != 0.

j'ai cru que , or c'est ...

[Alphasaft]

Oups désolé... Déformation d'informaticien ! Non c'est bel et bien , comme tu peux le voir dans l'énoncé original

[azizovsky]

Quel intérêt de déformer un énoncé, j'ai perdu une demi-heure ou plus avant de revoir l'énoncé.

ps: d'habitude c'est (=/= ) sur ce forum pour ceux qui n'utilise pas latex .

[Deedee81]

Salut,

ps: d'habitude c'est (=/= ) sur ce forum pour ceux qui n'utilise pas latex .

Excuse-moi, mais on utilise aussi très souvent !=
(même si je comprend que c'est énervant de perdre une demi-heure )

[azizovsky]

Salut,



Excuse-moi, mais on utilise aussi très souvent !=
(même si je comprend que c'est énervant de perdre une demi-heure )

Cela montre que j'ai raté bcp de chose .

[Médiat]

Bonjour,

Excuse-moi, mais on utilise aussi très souvent !=

Comme dans plusieurs langages de programmation comme C, C++, Java, Rust etc.

[Alphasaft]

Désolé effectivement pour cette perte de temps ! Ceci étant dit ce n'est pas comme si j'avais utilisé un symbole aberrant du style ?= (ce qui ne veut bien évidemment rien dire), et "!=" me semble relativement explicite. Dans tous les cas à l'avenir j'utiliserai le de LaTex, le temps est assez précieux pour éviter de le faire gaspiller aux autres, surtout de cette manière !

Pour répondre à la question "Quel interêt de ne pas recopier l'énoncé ?" j'y réponds à nouveau : je trouvais cela plus intéressant de modifier l'énoncé de sorte à supprimer les questions auxquelles j'avais déjà répondu, et souligner celles qui me posaient problème.