Probabilité

[invitecf3cd6c7]

Bonjour, je bloque sur un exercice. Pouvez-vous m'aider s'il vous plait?

l'énoncé est: X_n: [0, 1] → {0, 1, ..., 9}
x→ x_n

la variable aléatoire qui à x ∈ [0, 1] lui associe sa n ieme décimale x_n.

Soient p entiers positifs 1 ≤ n₁ < n₂ < · · · < n_n , et soient (k₁, k₂, . . . , k_p) p entiers compris entre 0 et 9.

1) Soit A_k1,k2,...,kp = {x ∈ [0, 1] : pour tout m ∈ {1, ..., p}, X_im(x) = k_m},
Décrire analytiquement A_k1,k2,...,kp (je ne comprends pas ce qu'on me demande)
calculer P(A_k1,k2,...,kp).

J'ai commencé par dire que P(A_k1,k2,...,kp)=P({X₁=k₁} inter {X₂=k₂} inter... inter {X_p=k_p})

Mais je ne sais pas comment continuer.

2) On pose pour n ≥ 1 et k ∈ {0, 1, ..., 9} la variable aléatoire Y_n,k(x) = 1 si Xn(x) = k
0 sinon.

On admet que à k fixé, les (Y_n,k)_n≥1 sont indépendantes.
Que dire de lim (Y_1,k + Y_2,k + · · · + Y_n,k)/n ?

Je dirais que si la somme des Y=n alors la limite vaut 1 sinon elle vaut 0. Mais je ne suis pas certaine que c'est ce qui ait demandé.

3)Qu’en déduire sur la proportion des décimales qui valent k dans le développement décimal d’un nombre tiré uniformément au hasard dans l’intervalle
[0, 1] ?
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[gg0]

Bonjour.

Cet exercice sert plus à manipuler les notations ensemblistes et probabilistes qu'à démontrer un résultat intuitivement évident (on peut le faire sans probabilités). Ce résultat qui est que les proportions de 1, de 2, de 3, .. de 9, de 0 dans les décimales des réels entre 0 et 1 sont les mêmes.

Je te conseille de commencer par illustrer les notations, en regardant combien vaut X₈ pour le tirage de 1/2, 1/3, pi/4 ou .
Puis tu peux regarder comment doit être x pour que l'on ait X₁ = 1, pour que l'on ait x₁=2, .. pour que l'on ait X₁=0, pour que l'on ait x₂=0, ou x₂ = 1 ....
C'est ce que ton énoncé appelle "décrire analytiquement".
Et ça te permettra de traiter la première question.

Ça te permettra peut-être aussi de donner un sens à la somme Y_1,k + Y_2,k + · · · + Y_n,k, pour laquelle je te rappelle qu'une somme de nombres valant soit 0 soit 1 est égale au nombre de 1 qu'il y a dans la somme.

Cordialement.

[invitecf3cd6c7]

Bonjour,

Si j'ai bien compris

J'ai trouvé que A_k1,...,kp est une union d'intervalles [k1/10+k2/100+...+km/10^m; k1/10+k2/100+...+(km+1)/10^m[
C'est donc la description analytique?

Et je sais d'après les questions precedentes que les intervalles I pour X1 et X2 ont une probabilité de 1/10 et que les deux intervalles sont indépendantes.

Donc P(A[SUB]k1,...,kp[/SUB)= P(intersection des intervalles)=1/10^p ?

Mais le problème est qu'en faisant cela, on affirme que les Xn sont indépendants or c'est la question d'après.

Je ne comprends pas comment peut-on trouver la probabilité sans probabilisé

[Médiat]

Bonjour,

Qu’en déduire sur la proportion des décimales qui valent k dans le développement décimal d’un nombre tiré uniformément au hasard dans l’intervalle
[0, 1] ?

Comment fait-on pour "tiré un nombre (je suppose réel) uniformément au hasard dans l’intervalle [0, 1] ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

L'énoncé, tel que tu l'écris est un peu rude. La variable aléatoire X modélise le choix uniforme d'un réel entre 0 et 1. L'auteur de l'exercice (si tu n'as pas simplifié outrancièrement) n'a pas vraiment défini l'espace probabilisé sur lequel on choisit x : l'intervalle [0,1], muni de la tribu borélienne et de la mesure de Lebesgue, par exemple. En fait, l'aspect probabiliste ne sert à rien, X est une bête fonction, les X_n et les Y_n,k aussi, et on cherche la limite d'une somme. Le fait de présenter ça avec des variables aléatoires (mal construites) complique la situation, car on a besoin de l'indépendance dans une situation où elle est une conséquence de la construction des décimales de tous les nombres : Si on utilise tout les réels, le 7^ième chiffre après la virgule peut parfaitement être 0,ou 1, ou 2, .. ou 9, quel que soit le sixième; on reste entre 0 et 1.

Il y a d'ailleurs un problème bien plus gros : Pour certains réels (les décimaux), il y a deux "n-ième décimale" sauf pour les premières : 0,12 = 0,11999...; la 3^ième décimale est-elle 0 ou 9 ? On peut alors décider de prendre l'écriture qui termine par des 0, mais il y a un problème pour 1, qui a les mêmes décimales que 0.

Est-ce que ces questions sont traitées dans ton énoncé ?

En tout cas, l'aspect probabiliste est ici superflu.

Cordialement.

[MissJenny]

La limite de la somme des Y est une variable aléatoire, il me semble.

[gg0]

Tout à fait ... si on définit correctement les variables aléatoires. L'énoncé est trop imprécis.

Cordialement.

[invitecf3cd6c7]

Voici l'énoncé pour pouvoir mieux comprendre:

[invitecf3cd6c7]

Oui j'ai repondu à ces questions avant

[GBZM]

Bonjour,

L'énoncé indique à la première ligne que [0,1] est muni de la probabilité uniforme. Il rappelle même ce qu'est cette mesure de probabilité uniforme. Il n'a donc rien d'imprécis.

[gg0]

Avec cet énoncé, plus de problème, on sait où on va. Le message #1 n'en était qu'une pâle esquisse ! Et ayant cet énoncé, "pour pouvoir mieux comprendre", je n'aurais pas rédigé le message #2, vu ce qui est demandé dans les questions a à h.
Amii m'ayant induit en erreur sur l'énoncé de l'exercice, je n'ai aucune envie de continuer à répondre. Libre aux autres de le faire, évidemment.

Cordialement.

[invitecf3cd6c7]

Bonjour,
je m'excuse de vous avoir induit en erreur, ce n'etait pas mon intention.

[invitecf3cd6c7]

Bonjour, en effet [0,1] est muni de la probabilité uniforme. Je sus désolée de ne pas l'avoir préciser.
Mais pour une probabilité d'unions d'intervalles, si on ne sait pas qu'ils sont indépendants, comment peut-on montrer la probabilité?
Je peux justifier par le fait que tous les intervalles de même longueur inclus dans le support de la loi ont la même probabilité?
Et on a alors P(A_k1,...,kp)=P({X₁=k₁}inter...inter {X_p=k_p}=
=1/10*...*1/10
=1/10^p

Mais il me semble que je peux dire cela seulement s'ils sont indépendants non?

[GBZM]

Qu'est-ce que ça veut dire, des intervalles indépendants ???

Des intervalles disjoints, ça je sais ce que ça veut dire. Et quand on a des intervalles disjoints, la mesure de leur réunion est bien la somme de leurs mesures.

[MissJenny]

intervalles I et J indépendants ssi P(I n J)=P(I)P(J) où P est ici la loi uniforme sur [0,1]. Je ne connais pas d'autre définition.

[invitecf3cd6c7]

en effet les intervalles ne peuvent etre indépendants. C'est les évènements avec la propriété donné par @MissJenny
On a plutot les variables aléatoires X tel que I=(x ∈ [0, 1] : X_k(x) =k)
On a alors que A_k1,...,kp=union des intervallees I = U[k₁10+k₂100+...+k_p/10^p)
P(A_k1,...,kp)=P(U[k₁10+k₂100+...+k_p/10^p)), c'est bien vrai ? ou je suis completement à coter de la plaque?

[invitecf3cd6c7]

Mais il me semble qu'on peut dire que 2 intervalles sont independants non?

[GBZM]

Oui, on peut le dire. Mais est-ce pertinent ?

Déjà, une remarque : les intervalles [0,1/2] et [1/4,3/4] sont "indépendants" dans [0,1], pas dans [-1,1]. Bon, tant qu'on reste dans [0,1], on peut donner à cette expression le sens indiqué.

Ensuite, est-ce vraiment le problème ici ? Le problème, il me semble, est
soit d'avoir la mesure de probabilité d'une intersection d'évènements : les X_i=k_i. C'est ces évènements dont on doit alors démontrer l'indépendance.
soit d'avoir la mesure de probabilité d'une réunion d'intervalles disjoints. Là, nul besoin d'indépendance, d'ailleurs deux intervalles disjoints non triviaux ne sont pas indépendants.
Ta description de est complètement à revoir.

[invitecf3cd6c7]

la description analytique de A_k1,...,kp n'est pas de dire que c'est l'intersection des intervalles ou les X_m=k_m sont définis??

mais je ne vois pas ce que pourrais etre la description graphique.

La mesure de probabilité d'une intersection d'évènements : les X_i=k_i ou ces évènements sont definis sur des intervalles.
Or ces intervalles sont disjoints donc la mesure de probabilité est le produits des mesure de probabilité des intervalles?

je trouve alors
P(A_k1,...,kp)=P({X₁=k₁ inter...inter {X_p=k_p}) =P(I_k1 inter... inter I_kp ) et les intervalles sont disjoints donc P(A_k1,...,kp)=1/10*...1/10 (p fois)=1/10^p
c'est bien ça?

[GBZM]

Or ces intervalles sont disjoints donc la mesure de probabilité est le produits des mesure de probabilité des intervalles?

Bien sûr que non ! Réfléchis, voyons ! Quelle est la mesure de Lebesgue d'une réunion d'intervalles disjoints ?

[invitecf3cd6c7]

C'est la somme de la mesure des intervalles

[GBZM]

Ouf !
Et il n'est pas question d'indépendance là-dedans.
L'ensemble défini dans l'énoncé est une réunion de combien d'intervalles disjoints de quelle longueur ?

[invitecf3cd6c7]

C'est une réunion de 10^p intervalles de longueur 1/10^p?

[GBZM]

Ce qui ferait une mesure 1, donc tout réel de [0,1[ serait presque sûrement dans cet ensemble.
Tu vois bien que ça ne tient pas la route. Ne réponds pas au hasard, réfléchis plus sérieusement.

[invitecf3cd6c7]

On doit avoir une mesure 1/10^p, donc des termes devrons s'annuler.
10^k1*10^k2-(k1+1)*...*10^kp-(k_p-1+1)=10^kp-p intervalles
On doit donc avoir une longueur de 1/10^kp

Mais je ne vois pas comment l'obtenir
les intervalles sont [k₁/10+...k_p/10^p;k₁/10+...k_p+1/10^p]
et k₁/10+...k_p+1/10^p-(k₁/10+...k_p/10^p)= 1/10^p et non 1/10^kp

[GBZM]

Non, tes descriptions d'intervalles ne vont toujours pas, fais déjà plus attention à la définition de l'ensemble .

Commençons par quelque chose de plus simple.
1°) On considère l'ensemble A des réels de [0,1[ dont la 10ème décimale est 7. Combien d'intervalles disjoints, de quelle longueur ? Peux-tu décrire ces intervalles ?
2°) Parmi les réels de A, on considère l'ensemble B de ceux dont en plus la 6ème décimale est 3. Combien d'intervalles disjoints, de quelle longueur ? Peux-tu décrire ces intervalles ?

[invitecf3cd6c7]

1) A=[k1/10, k1+1/10[ U ...U [k1/10+...+7/10^10, k1/10+...+7+1/10^10[U...U [kk1/10+...+7+1/10^10+...+kp/10^p[

Mais ils ne sont pas disjoints. Je ne comprends pas.
Ils sont de longueurs de 1/10^m

[invitecf3cd6c7]

Ah non c'est [k₁10+...+7/10^10; k₁10+...+7+1/10^10[ U [k₁10+...+7/10^10+...+k10/10^p;k₁10+...+7/10^10+...+k₁₀+1/10^p[

Mais je comprends toujours pas comment ils peuvent etre disjoints alors que tous les intervalles sont inclus dans le premiers

[GBZM]

Hum, ça pédale toujours dans la semoule.

Je réponds moi-même à ma question 1) : l'ensemble A est la réunion (disjointe) des intervalles

pour tous les . Il y a donc intervalles qui ont tous comme longueur.

Maintenant, peux-tu répondre à ma question 2) sur l'ensemble B ?

[invitecf3cd6c7]

Je ne comprends pas pourquoi c'est 10^9 intervalles de longueur 10^-10