Bonjour, voici 5 petits problèmes de construction géométrique que je ne parviens pas à résoudre. Ce serait super que quelqu'un puisse m'aider !
Il s'agit d'un cours universitaire d'Algèbre (corps, extensions, théorie de Galois)
> Problème 1. Etant donné le segment reliant les points (0, 0) et (1, 0), peut-on construire sa médiatrice ?
> Problème 2. Etant donné un carré de côté c = 1, peut-on construire un carré dont l’aire est le double de celle du premier ?
> Problème 3. Etant donné un cube de volume V = 1, peut-on construire un cube dont le volume est le double du premier ? Notez que, dans ce cas-ci, les constructions se font dans l’espace au lieu du plan.
> Problème 4. Etant donné un cercle de rayon r = 1, peut-on construire un carré de même aire que ce cercle ?
> Problème 5. Etant donné l’angle θ = π/3 de sommet (0, 0), peut-on le subdiviser en trois angles égaux ? En deux angles égaux ?
---> Indication : Pour le problème 5, utilisez les identités trigonométriques :
cos(3θ) = 4 cos³θ − 3 cos(θ)
cos(2θ) = −1 + 2 cos²θ
Pour la résolution, voici 2 théorèmes utiles :
* Théorème 1 : Soit L une extension galoisienne de K. Les corps L et K sont les extrémités d’une tour d’extensions quadratiques si et seulement si la dimension de l’extension L de K est une puissance de 2.
*Théorème 2 : Un nombre x ∈ R est constructible si et seulement s’il existe une tour d’extensions quadratiques Q = K0 ⊂ K1 ⊂ K2 ⊂ ... ⊂ Kr telles que x ∈ Kr.
Ces 2 théorèmes impliquent qu’un nombre réel est constructible si et seulement s’il appartient à une extension galoisienne sur Q de dimension 2puissance"n", avec n ≥ 0.
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