Bonjour, je suis bloqué à la question 4 et 5. Pouvez vous m'aider svp. Merci d'avance
Soit X = (x1 , x2 , x3 ) ∼ N (μ, Σ) une variable aléatoire gaussienne multivariée de moyenne μ ∈ R3 et de matrice de covariance Σ ∈ R3×3. Sa fonction de densité est fμ,Σ définie par:
fμ,Σ :
X→ (1/(√2π3 √|Σ|) ) * exp(−1/2 QΣ (X−μ))
Ou la fonction QΣ : R3 -> R est définie par QΣ(X) = X^T Σ^−1 X
1- Pourquoi Σ est une matrice symétrique
2- Montrer que Σ est diagonalisable
Soit P la matrice de passage orthogonale vérifiant: Σ = P T DP , ou D = diag(σ12, σ2, σ32).
3- Exprimer QΣ en fonction de P et de D et exprimer le déterminant |Σ| en fonction des σi2 (
4- soit Y = X P la variable aléatoire obtenue par la transformation linéaire P .
MontrerY ∼N(Pμ,D).
(i.e. vérifier que la fonction de densité de la variable aléatoire Y = (y1 , y2 , y3 ) vérifie:
f(Y ) = fμ,Σ(XP) = fPμ,D(Y )
On rappelle qu’une variable gaussienne y ∼ N (m, σ2) a pour fonction de densité:
fm,σ2(y)= (1/√2πσ)* exp ( (−1/2)*(y−m/σ)^2)
5- On note le vecteur P μ = (m1, m2, m3). Montrer que:
fP μ,D (Y ) = Π fmi ,σi^2 (yi )
(indication: vérifier d’abord que QD(X) = Σ(xi/σ)^2
6- vérifier que les variables aléatoires (y1 , y2 , y3 ) sont indépendantes.
7- vérifier que yi ∼ N (mi, σ2).
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