Bijection entre deux ensembles-produits

[ph1]

Bonjour,
Soit 4 ensemble E, F, G et H tel qu'il existe une application bijective de E×F dans G×H et une application bijective de E dans G.
Ma question est la suivante : existe-t-il toujours (ou dans certains cas seulement, et si oui lesquelles?) une bijection de F dans H, et si oui peut on en donner une forme explicite?
En fait j'ai démontrer le contraire mais ma démonstration me parait vraiment douteuse et je pense qu'il y a une erreur quelque part (d'autant plus que je crois déjà avoir vu une démonstration de la propriété mais je ne me souvient plus où…). Je vous la met quand même :

(Quand j'écris A→B je veux dire qu'il existe une bijection de A dans B, simple raccourcis)

ℝ² → ρ×θ , ρ∈ℝ et θ∈[-180,180[
(bijection entre les points du plan muni d'un repère orthonormé ou d'un repère à coordonnées polaires)
ℝ² → ℝ×[-180,180[
[-180,180[ → [0,1[
ℝ² → ℝ×[0,1[
ℝ → [0,1[
ℝ → ℝⁿ
ℝ²→ [0,1[
ℝ=ℤ×[0,1[ (??)
ℝ² → ℤ×[0,1[
ℝ → ℤ
ℤ → ℕ
ℕ → ℝ
card(ℕ)=card(ℝ) → contradiction
Donc la propriété énoncée plus haut est fausse.

Merci pour vos réponses.
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[Médiat]

Bonjour,

Si vous raisonnez en terme de cardinaux :

ce qui n'implique absolument pas que , par exemple si et et et
La propriété énoncée est donc bien fausse (votre contrexemple fonctionne, mais vous pouvez trouver plus simple et par exemple).

[ph1]

Oui bien sûr! Merci beaucoup.

[ph1]

Tout de même, peut on trouver un critère suffisant pour que la proposition soit vraie?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Je vous ai donné toutes les réponses dans mon message précédent

[gg0]

Bonjour Ph1.

Comme Médiat t'a donné des contre-exemples avec le minimum d'ensembles infinis, il te reste à voir le cas de 4 ensembles finis.

Cordialement.