Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 14 sur 14

Plongement entre deux ensembles



  1. #1
    Phil1313

    Plongement entre deux ensembles


    ------

    Bonjour à tous,

    je dois déterminer tous les plongements qui existent de ℘({a, b}) vers ℘({0, 1, 2}).
    À ma compréhension, le plongement dépend d'une fonction, non?
    Sinon, comment répondre à cette question, il me semble qu'il me manque des informations.

    Merci

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Médiat

    Re : Plongement entre deux ensembles

    Bonjour,

    Quelle est votre définition d'un plongement, en particulier entre ensembles ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #3
    Phil1313

    Re : Plongement entre deux ensembles

    un plongement est un homomorphisme de treillis f : S → T (une fonction qui préserve les opérations du treillis) qui est également injectif (pour tout y, il n'y a qu'un X qui relie à ce y)
    Dernière modification par Phil1313 ; 08/03/2020 à 23h21.

  5. #4
    Phil1313

    Re : Plongement entre deux ensembles

    un plongement est un homomorphisme de treillis f : S → T (une fonction qui préserve les opérations du treillis) qui est également injectif (pour tout y, il n'y a qu'un X qui relie à ce y)

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Médiat

    Re : Plongement entre deux ensembles

    Vous pouvez raisonner de deux façons différentes:

    1) choisir l'image du vide, qui doit être incluse dans 3 autres éléments, puis les images des singletons …
    2) faire ces choix directement sur les graphes (placer celui de gauche sur celui de droite), mais attention, là il y a un petit piège
    Images attachées Images attachées  
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  8. #6
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Plongement entre deux ensembles

    Bonjour.

    Un plongement ne "dépend" pas "d'une fonction" , il est une fonction.

    Cordialement.

  9. Publicité
  10. #7
    Phil1313

    Re : Plongement entre deux ensembles

    Merci beaucoup,

    Je crois que je suis parvenu hier soir, après beaucoup d'essais et erreurs, à une solution

  11. #8
    Médiat

    Re : Plongement entre deux ensembles

    Combien en trouvez-vous ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  12. #9
    Phil1313

    Re : Plongement entre deux ensembles

    Bonsoir, j'en ai trouvé 8, mais il est fort possible que j'ai commis des erreurs. J'aurai le corrigé de l'exercice la semaine prochaine et si cela vous intéresse, je pourrais vous communiquer les résultats. Je vous remercie de votre aide.

  13. #10
    Médiat

    Re : Plongement entre deux ensembles

    Bonsoir,

    J'en compte 18
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  14. #11
    Phil1313

    Re : Plongement entre deux ensembles

    Bon, j'en ai évidemment manqué plusieurs alors!
    J'ai un nouveau problème, je ne sais pas si vous pouvez encore une fois m'aider.

    Nous avons le treillis T qui peut être plongé dans un treillis distributif D. Montrez qu’on peut alors conclure que T est distributif.

    Je comprends que le plongement respecte alors les équivalences suivantes: f(a ∧ b) = f(a) ∧ f(b) et f(a ∨ b) = f(a) ∨ f(b)
    et je suppose que pour montrer la distributivité de T, je devrais montrer que x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) est vrai.
    Cependant, je ne sais pas comment construire cette preuve de façon strictement «*formelle*»

    Vous pouvez, bien sûr, ignorer ce message si je vous importune avec mes questions.

  15. #12
    Médiat

    Re : Plongement entre deux ensembles

    Citation Envoyé par Phil1313 Voir le message
    Cependant, je ne sais pas comment construire cette preuve de façon strictement «*formelle*»
    Il "suffit" d'écrire ce que l'on sait (que vous avez écrit) avec les quantificateurs (avec les plongements, le problème vient des quantificateurs existentiels)


    Vous pouvez, bien sûr, ignorer ce message si je vous importune avec mes questions.
    Ne vous inquiétez pas, c'est le principe d'un forum que de ne répondre que si on le désire
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  16. Publicité
  17. #13
    Phil1313

    Re : Plongement entre deux ensembles

    Merci, j'ai tenté de répondre de cette manière, mais je ne sais pas si je suis sur la bonne piste.

    Puisque D est un treillis nous savons que la loi de la distributivité : x ∧ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ (x ∧ z) est vraie
    Maintenant, je remplace toutes les variables par un plongement dans T (disons que le plongement est e) Nous avons

    e (x) ∧ (e (y) ∨ e(z)) = (e (x) ∨ e(y)) ∨ (e (x) ∧ e(z))

    Puisque le plongement e supporte ces égalités : e (x ∧ y) = e (x) ∧ e (y), (et similaire pour la disjonction)
    je fais les substitutions suivantes:

    e (x) ∧ e (y ∨ z) = e (x ∨ y) ∨ e (y ∧ z)

    et e (x ∧ (y ∨ z) = e ((x ∨ y) ∨ (y ∧ z))

    Ensuite on applique le plongement injectif e pour avoir: x ∧ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ (y ∧ z)

    Par contre, je n'ai évidemment pas utilisé les quantificateurs, alors je suis encore probablement dans l'erreur!
    Dernière modification par Phil1313 ; 11/03/2020 à 19h09.

  18. #14
    Médiat

    Re : Plongement entre deux ensembles

    Citation Envoyé par Phil1313 Voir le message

    Par contre, je n'ai évidemment pas utilisé les quantificateurs, alors je suis encore probablement dans l'erreur!
    Ce n'est pas une erreur (grâce à l'axiome de généralisation), mais je trouve cela moins lisible
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

Discussions similaires

  1. orthogonal de l'union de deux ensembles
    Par FreakyFlow dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 8
    Dernier message: 30/10/2018, 10h26
  2. intersection de deux ensembles fini.
    Par AlexTaylor dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 7
    Dernier message: 05/12/2017, 17h41
  3. Problème avec deux ensembles de valeurs
    Par julien_4230 dans le forum Logiciel - Software - Open Source
    Réponses: 7
    Dernier message: 22/12/2010, 14h14
  4. Egalité de deux ensembles
    Par Seirios dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 4
    Dernier message: 30/10/2009, 11h46
  5. Egalité de deux sous-ensembles de R^n
    Par Bleyblue dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 4
    Dernier message: 22/02/2008, 05h42