Séries télescopiques

[Julees]

Bonsoir,

Dans mon cours j’ai la formule suivante (lim étant la limite quand n tend vers l’infini) : lim(somme((u_k+1)-u_k)))=lim(u_n)-u_0 pour k allant de 0 à n.
J’ai bien compris la preuve de ce résultat qui est évidente mais je trouve quelque chose de différent en passant par un autre chemin et je ne sais pas ou est mon erreur :


Merci d’avance pour vos réponses
-----

[Julees]

EDIT : Autre chose, lorsque u_n est definie pour tout n>=n0, on note la limite de la serie de terme general u_n-1 «*somme(u_n-1) avec n variant de n0 à l’infini » ou avec «n variant de n0+1 à l’infini» (même si au final cela ne change rien au résultat, je ne sais simplement
pas si c’est très apprecié d’écrire la premiere notation alors que u_n0-1 n’est pas défini (à moins que l’on prenne la convention où u_n0-1=0 ?))

Merci =)

[gg0]

Bonsoir.

L'erreur principale est à la dernière ligne : Il n'y a aucune raison que les deux séries soient égales. Mais déjà, à la ligne précédente, tu as supposé que deux limites existaient, et que la limite de la différence était la différence des limites. Or ce n'est pas vrai en général, la limite de (n+1)- n existe, la différence des limites (infinies) n'a pas de sens. Même chose avec (sin(n)+1) - sin(n).
Moralité : Faire très attention aux calculs avec des limites, rarement intuitifs.

Cordialement.

[gg0]

Pour ton message #2, utilise "Répondre" pour le réécrire en utilisant le bouton x₂ qui permet d'écrire clairement les indices. Pour l'instant, je ne sais pas trop ce que tu racontes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Julees]

J’ai oublié de préciser qu’on supposait (u_n) convergente. Dans ce cas u_n+1 et u_n ont bien la même limite réelle (ou complexe) l non ?

EDIT:je viens de voir mon erreur, en effet u_n convergente n’implique pas que sa série associée le soit aussi ^^’

[Julees]

Ok je recopie :

EDIT : Autre chose, lorsque u_nest definie pour tout n>=n0, on note la limite de la serie de terme general u_n-1«*somme(u_n-1) avec n variant de n0 à l’infini » ou avec «n variant de n0+1 à l’infini» ?(même si au final cela ne change rien au résultat car ce ne sont que les premiers termes, je ne sais simplement pas si c’est très apprecié d’écrire la premiere notation alors que u_n0-1n’est pas défini (à moins que l’on prenne la convention où u_n0-1=0 ?))

Tout cela évidemment avec lim(somme(u_k)) [somme d’indice muet k variant de n0 à n] se notant usuellement somme(u_n) [ici somme d’indice muet n variant de n0 à l’infini], si jamais ce n’est pas assez clair. Sinon je peux toujours envoyer une photo ou ce sera surement plus explicite si besoin.

[gg0]

La convergence de n'est pas nécessaire, seulement l'existence d'une limite (éventuellement infinie). En fait, la règle (quasi évidente) utile est :

Dont on déduit, si la suite a une limite finie ou infinie, que la série de terme général a pour limite . En particulier, si est fini :
.

[gg0]

Pour ton message 4, si n'est pas défini pour , on ne va pas parler de "avec variant de à l’infini ", puisque n'existe pas, mais seulement "avec variant de à l’infini". Et attention à "ce ne sont que les premiers termes", qui a un sens pour la recherche de la convergence, mais aucun pour la somme de la série, quand elle converge : Commencer à 0 ou à 1 change la somme !!

Revois de près le cours sur les séries, il te faut le connaître sur le bout du doigt et le comprendre, tu vas l'utiliser beaucoup !

Cordialement

[Julees]

En effet ! Merci de votre aide, ca m’a beaucoup aidé.