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résolution équation trigonométrique



  1. #1
    minacristal

    Exclamation résolution équation trigonométrique


    ------

    bonjour
    j'aurais besoin d'aide pour une petite équation trigonométrique qui à première vue me semblait ultra simple et qui finalement ne l'est pas du tout!
    3cos(x)+4sin(x)=2
    si vous y arrivez vous me redriez un immense service puisque je pourrais enfin passer à autre chose dans mes devoirs pour la rentrée!

    Minacristal

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    rvz

    Re : résolution équation trigonométrique

    Salut

    Effectivement, ça pourrait sembler complexe à résoudre. Et complexe est le mot, puisque si tu utilises les formules de Moivre, tu verras que exp(ix) vérifie une équation de degré 2, que donc tu sais résoudre.

    Autre méthode : Si tu arrives à mettre ton équation sous la forme
    cos(a)cos(x) + sin(a)sin(x) = b, c'est gagné !
    Comment faire ça ? Poser cos(a) = 3/racine(3^2+4^2). Je te laisse deviner la suite.

    __
    rvz

  4. #3
    minacristal

    Re : résolution équation trigonométrique

    merci, j'ai utilisé une méthode pratiquement pareil à la tienne (vive internet et les sites de mathématiques des profs!)

    j'ai pris acos(x)+bsin(y)=r.cos(x-phi)
    avec r=racine (x^2+y^2) et tan(phi)=b/a
    en remplaçant les lettres par les valeurs et ainsi de suite, j'ai fini par trouver le résultat.

    j'ai essayé ta méthode qui marche aussi (pas celle avec les complexes, j'en ai trop "bouffé" pendant 2 semaines).
    merci beaucoup

    Mina Cristal

  5. #4
    mécano41

    Re : résolution équation trigonométrique

    Bonjour,

    Pour résoudre :



    on peut également faire :







    dont les racines sont :



    On peut également passer par tan(x/2)

    Bon courage

  6. #5
    fritzlm

    Re : résolution équation trigonométrique

    Citation Envoyé par mécano41
    Bonjour,

    Pour résoudre :



    on peut également faire :







    dont les racines sont :



    On peut également passer par tan(x/2)

    Bon courage
    Sauf que (cosx)^2+(sinx)^2=1 n'implique pas que cosx=racine(1-(sinx)^2). On peut être dans un cas où cosx<0

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    hbenalia

    Re : résolution équation trigonométrique

    Bonjour

    Citation Envoyé par minacristal
    bonjour
    j'aurais besoin d'aide pour une petite équation trigonométrique qui à première vue me semblait ultra simple et qui finalement ne l'est pas du tout!
    3cos(x)+4sin(x)=2
    si vous y arrivez vous me redriez un immense service puisque je pourrais enfin passer à autre chose dans mes devoirs pour la rentrée!

    Minacristal
    La meilleure façon pour résoudre cette équation c'est d'utiliser la relation suivante:
    a , b étant différents de zéro
    a cosx + b sinx = k cos(x - r)
    avec : k = racine(a² + b²) et r est défini par: cos r = a/k et sin r = b/k

    J'espère que mon raisonnement est bien clair.



    Méthode:

    3cos(x)+4sin(x)=2

    divisons les deux membres par : racine(3² + 4²) i.e : 5

    (3/5) cos x + (4/5) sin x = (2/5)

    et puisque : (3/5)² + (4/5)² = 1 donc il existe un réel r (au moins) tel que : cos r = 3/5 , sin r = 4/5

    donc l'équation s'écrit: cos r . cos x + sin r . sin x = (2/5)

    or : cos r . cos x + sin r . sin x = cos (x - r) (formule de transformation)

    alors on aura: cos (x - r) = 2/5

    et on est ramené à une équation de la forme : COS X = L (qui est facile à résoudre)

    Remarque : on peut aussi utiliser la relation : a cos x + b sin x = k sin (x + r ') avec : k = racine(a² + b²) et r ' défini par : cos r ' = b/k et sin r ' = a/k

    Cordialement

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  10. #7
    mécano41

    Re : résolution équation trigonométrique

    Citation Envoyé par fritzlm
    Sauf que (cosx)^2+(sinx)^2=1 n'implique pas que cosx=racine(1-(sinx)^2). On peut être dans un cas où cosx<0
    Bonjour,

    Suite à ta remarque, j'aimerais que tu m'aides, si possible, à démontrer quelque chose que je ne vois pas bien.

    Ta remarque est juste, bien entendu, cependant, lorsque je poursuis le problème, le but final étant de trouver l'arc, je trouve néanmoins les deux seules racines x1 et x2 qui conviennent, les deux autres étant éliminées d'office (voir pièce jointe)

    Comment doit-on interpréter le fait que ce sont toujours les équations faites à partir de sin1, cos1 et de sin2, cos2 qui ne sont pas vérifiées. Dans ces deux cas en calculant on trouve :



    alors que dans les deux autres cas, on retombe bien sur c.

    Merci d'avance
    Fichiers attachés Fichiers attachés

  11. #8
    rvz

    Re : résolution équation trigonométrique

    Salut Mecano,

    Ta résolution marche bien parce que tu élèves au carré quand tu résous. Donc même si tu fais moralement une faute quand tu écris cos = racine(1-sin^2), dès que tu élèves au carré, il n'y a plus de fautes.

    Néanmoins, en élevant au carré, tu fais une implication, pas une équivalence. Donc tu vas trouver deux sinus possibles différents, ce qui est parfaitement juste. Mais il est probable que tu obtiennes des solutions en trop (La pièce jointe est pas encore validée donc j'émets une simple hypothèse), car à chaque sinus correspond deux angles possibles. Donc tu obtiens 4 angles possibles.

    Il faut ensuite en virer 2, mais cela ne doit pas poser problème en faisant des raisonnements élémentaires sur les signes des cosinus et sinus.

    Néanmoins, je maintiens que les méthodes que j'avais proposées au début marchent bien, et ne nécessitent pas de discussion à posteriori. Toutes les autres méthodes de résolution propres que j'ai vu dans ce fil correspondent en fait à la deuxième méthode plus ou moins modifiée que j'avais suggérée. Au fait, personne ne commente la méthode avec les exponentielles complexes ? Vous avez tort, elle marche très bien...
    __
    rvz

  12. #9
    Ant_in_Space

    Re : résolution équation trigonométrique

    Salut RVZ,

    Comme tu en parles, j'aimerais que tu développes dans ce cas le problème avec les exp et les formules de Moivre si possible. Celà me semble tout aussi intéressant.

  13. #10
    rvz

    Re : résolution équation trigonométrique

    Citation Envoyé par Ant_in_Space
    Comme tu en parles, j'aimerais que tu développes dans ce cas le problème avec les exp et les formules de Moivre si possible. Celà me semble tout aussi intéressant.
    Salut,

    Bon ba puisqu'on me demande d'en parler, je vais le faire. En fait, cette méthode m'a été suggérée par la méthode que Bleyblue a utilisé il y a quelque temps pour retrouver que [TEX] Arcsin x = ln ( \sqrt{1+ x^2} + x ) [TEX].

    Ici, tu as une équation du type
    , avec a, b et c constantes.
    Tu poses . Déterminer x ou u est tout à fait équivalent.
    Tu écris maintenant l'équation précédente en fonction de u, ça te fait apparaître du u et du 1/u (pas de pb car u est de module 1 ! ), et tu multiplies par u pour avoir quelque chose de plus joli.
    Tu obtiens

    C'est un binôme de degré 2 (sauf si b+ia = 0, ce qui simplifie plutot la vie) à coefficients dans C. On peut le résoudre via les formules usuelles : Je n'ai pas dit que la forme générale était simple, mais bon, ça donne le résultat voulu, directement en fonction de a, b et c, et ça a le mérite de marcher aussi quand ces paramètres sont complexes.

    Attention toutefois : Tu remarqueras que j'ai toujours au moins une solution, ce qui pourrait sembler bizarre. En fait, ça ne l'est pas, car le sinus et le cosinus sont définis sur C tout entier.

    __
    rvz

  14. #11
    Ant_in_Space

    Re : résolution équation trigonométrique

    Oui mais le problème c'est que j'ai :

    23660*cos(teta)-1560*sin(teta)=-29171

    Et je n'arrive pas à avoir de réponse car C est négatif.
    il y a-t-il un autre moyen de résoudre dans R ?

    Il me faut teta dans R.

    ++

    Ant

  15. #12
    rvz

    Re : résolution équation trigonométrique

    Eh bien theta est dans R ssi u est de module 1.
    Pour info, si tu préféres résoudre les choses dans R :
    Tu supposes a, b, c rééls.
    Tu poses v = a +ib, et X = u conjugué(v). Alors l'équation sur u se transforme en
    , et les solutions de cette équation à coefficients réélles sont réélle ssi |v| < c, comme on s'y attendait au vu des autres méthodes.
    De toute façon, avec la méthode que je t'ai proposée, tu seras obligé de passer par les nombres complexes, puisque ton inconnu u est un nombre complexe !

    __
    rvz

  16. Publicité
  17. #13
    Ant_in_Space

    Re : résolution équation trigonométrique

    Ok merci pour ces tuyaux.
    A très bientôt,

    Antoine

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