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Résolution d'une équation trigonométrique



  1. #1
    xizor

    Question Résolution d'une équation trigonométrique


    ------

    Dans le cadre d'un cours, je dois résoudre l'équation suivante

    2sin²(x) = 1+sin(x)

    selon ce que je comprend, j'avais commencé comme suit:

    2sin²(x) = 1+sin(x)
    2sin²(x) - sin(x) = 1
    sin(x) (sin(x) - 1) = 1

    Mais ensuite je ne sais pas quoi faire avec le = 1 (en gras)
    même en le transferant à gauche cela n'aide pas.
    normallement, on cherche à avoir exactement ce qui est en haut mais qui est égale à 0.

    Merci d'avance pour votre aide!

    -----

  2. #2
    nissart7831

    Re : Résolution d'une équation trigonométrique

    Bonsoir,

    Et si tu posais un petit changement de variable U = sin(x), par exemple.
    Tu résouds ton équation en U. Puis tu reviens à sin(x) et tu interprètes toutes les solutions.

  3. #3
    xizor

    Re : Résolution d'une équation trigonométrique

    Je ne comprend pas vraiment plus ...
    je crois que tu as essayé de me faire voir un équation de la forme ax²+bx+c qui serait possible de résoudre avec l'équation suivant:
    (-b± Racine²(B²-4ac))/2a (un peu de difficulté à representé l'équation...)
    mais après quelques essais, quand j'essaie des valeur de X cela ne me donne pas la même chose pour les 2 équations de départ.

  4. #4
    nissart7831

    Re : Résolution d'une équation trigonométrique

    Ecris moi les étapes que tu fais pour que je vois mieux ce que tu dis.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    xizor

    Re : Résolution d'une équation trigonométrique

    en prenant la notation de U comme ta m'a proposé :

    2U²-U+1=0

    donc je branche le tout dans la formule pour obtenir les zéros

    pour obtenir (-1±racine(-1²-(4)(2)(-1))) / (2)(2)

    ce qui donne un fois simplifier un peu :

    (-1±racine(9)) / 4
    pour avoir 0.5 et -1.

    par la suite je crois qu'il faut utiliser la fonction arcsin de ce 2 valeurs (ce qui donne 30 et 270 degrées) mais les équation ne s'égale pas pour la meme valeur ...
    Dernière modification par xizor ; 29/11/2005 à 00h43.

  7. #6
    nissart7831

    Re : Résolution d'une équation trigonométrique

    Citation Envoyé par xizor
    en prenant la natation de U comme ta m'a proposé :

    2U²-U+1=0
    Tu as fait une erreur de signe en passant le terme 1 dans l'autre membre de l'égalité.

  8. #7
    xizor

    Re : Résolution d'une équation trigonométrique

    ceci etait un faute lorsque jai recopié parce que j'ai fait les calculs avec 2U²-U-1=0

  9. #8
    nissart7831

    Re : Résolution d'une équation trigonométrique

    Tes racines sont quand même fausses.

  10. #9
    xizor

    Re : Résolution d'une équation trigonométrique

    ca devrais être
    (1±racine(9)) / 4
    ce qui donne maintenant 1 et -0.5
    arcsin(1) = 90 degrée

    et par la suite
    2sin90² = 0
    et
    1+sin90 = 2


  11. #10
    nissart7831

    Re : Résolution d'une équation trigonométrique

    Citation Envoyé par xizor
    ca devrais être
    (1±racine(9)) / 4
    ce qui donne maintenant 1 et -0.5
    Tes racines sont justes.

    Citation Envoyé par xizor
    arcsin(1) = 90 degrée
    :
    En utilisant la 1ère racine (1), on a U= sin(x) = 1 (*).
    Je regrette, mais 90°, en math on préfère noter , n'est pas la seule solution qui verifie (*).

    De plus, tu n'a pas utilisé l'autre racine.

    Citation Envoyé par xizor
    et par la suite
    2sin90² = 0
    et
    1+sin90 = 2
    Et là explique moi, comment 2sin²(90) = 0 et 1+sin(90) = 2.
    De la première, on tire sin(90) = 0 et de la 2ème, on tire sin(90) = 1 !! Il y a plutôt un problème, non ?

  12. #11
    xizor

    Re : Résolution d'une équation trigonométrique

    effectivement, il y a définitivement un problème ...
    je travaille encore un peu la dessus et revien pour dire ce avec quoi j'arrive

  13. #12
    xizor

    Re : Résolution d'une équation trigonométrique

    je vois vraiment pas ce que je peux faire de plus.
    arcsin(-0.5) me s'emble impossible (si j'en crois ma calculatrice)
    ensuite selon le domaine etudier d'une fonction sin je peux déduire 3P/2 est aussi une valuer a retenir, mais ca s'arrete la je ne suis plus quoi faire après.

    un petit indice serait bien apprécier !


    Merci pour ton temps!!

  14. #13
    nissart7831

    Re : Résolution d'une équation trigonométrique

    Donc tu as les racines 1 et

    Donc on cherche les x tels que sin(x) = 1 c'est-à-dire que x = + 2 k , avec k car la fonction sin est périodique !

    Pour la 2ème racine, on cherche les x tels que sin(x) = . Je t'assure que cela existe, quoi qu'en dise ta calculatrice. En effet, le sinus prend toutes les valeurs de l'intervalle [-1,1]. Suis le conseil ci-dessous et tu t'en persuaderas.
    Maintenant à toi de trouver les angles qui vérifient sin(x) = .

    Un conseil : trace le cercle trigonométrique pour t'aider à visualiser mieux les angles tels que sin(x) = 1 et les angles tels que sin(x) =

  15. #14
    xizor

    Re : Résolution d'une équation trigonométrique

    mais est ce que le -1/2 tien pour 3pi/2 ?

    et juste pour que savoir comment ajoute-tu les signes comme pi et les autres ??

  16. #15
    nissart7831

    Re : Résolution d'une équation trigonométrique

    Excuse moi, mais je ne comprends pas bien ce que tu veux dire.

    Est ce que déjà tu as tracé le cercle trignométrique pour t'aider ?

    As tu compris les solutions pour sin(x) = 1 ?

  17. #16
    xizor

    Re : Résolution d'une équation trigonométrique

    je ne suis pas certain d'avoir compris les solution de sin(x) = 1
    je comprend que dans sin(x)= 1 le x vaut pi/2

    j'ai un cercle trigonométrique avec les angles remarquables devant moi.

    lorsque je parle de -1/2 je veux dire que si jai -1/2 tour a faire ca me donne donc 3pi/2 comme valeur pour l'arcsin

    je crois que je suis un peu perdu!!!

  18. #17
    xizor

    Re : Résolution d'une équation trigonométrique

    de plus est ce que le sin²X est la meme chose que sinX²
    parce que moi je le prend comme tel depuis le début p-e que c'est ca qui me mélange!?

  19. #18
    nissart7831

    Re : Résolution d'une équation trigonométrique

    Oublie le pour l'instant. On verra ça plus tard.

    On travaille d'abord avec la 1ère racine.
    Quand sin(x) = 1, effectivement x= Mais si tu fais un angle qui fait un tour de plus du cercle trigonométrique, c'est à dire le sin vaut encore 1. Et ainsi de suite à chaque fois que tu fais un tour de plus du cercle. Pour toutes ces valeurs le sinus vaut 1.

    Donc l'ensemble des valeurs tel que sin(x) = 1 s'écrit x = k représente le nombre de tours (dans un sens et dans l'autre donc k peut être positif, négatif ou nul c'est-à-dire qu'il appartient à ).

    Le fait que la valeur du sinus est la même quand on fait un nombre entier de tours est appellé la période du sinus et la valeur de la période est de 2, ce qui veut dire que tous les , le sinus prend la même valeur.

    Tu as du voir ces notions en cours !!

  20. #19
    nissart7831

    Re : Résolution d'une équation trigonométrique

    Citation Envoyé par xizor
    de plus est ce que le sin²X est la meme chose que sinX²
    parce que moi je le prend comme tel depuis le début p-e que c'est ca qui me mélange!?
    D'où l'importance des paranthèses : sin²(x) = sin(x).sin(x) alors que sin(x²) = sin(x.x) ce qui ne donnera pas la même chose. Un exemple, le premier est toujours positif puisque c'est un carré, alors que le second peut prendre des valeurs négatives puisque c'est la fonction sinus !

  21. #20
    xizor

    Re : Résolution d'une équation trigonométrique

    Citation Envoyé par nissart7831
    Tu as du voir ces notions en cours !!
    oui on a vu ces notions, mais pour les objectif du cour nous ne retenons que les valeurs pour la fonction sinusoïdale comprise entre -pi/2 et pi/2 donc le 1er et 4e cadrant du graphique

    malgré ca je comprend bien que a chaque tour les valeur du sin sont les même.

    pour être sur comment dois-je développer
    la première partie de l'équation :
    2sin² x ??

  22. #21
    nissart7831

    Re : Résolution d'une équation trigonométrique

    Citation Envoyé par xizor
    nous ne retenons que les valeurs pour la fonction sinusoïdale comprise entre -pi/2 et pi/2 donc le 1er et 4e cadrant du graphique
    C'est bien que tu aies compris la notion.
    Mais tu aurais du le dire plus tôt que vous travaillez uniquement entre et , cela aurait été plus simple.

    Donc, si tu te limites à l'intervalle que l'on a dit, il n'y a qu'une solution à sin(x) = 1 est c'est .

    Citation Envoyé par xizor
    pour être sur comment dois-je développer
    la première partie de l'équation :
    2sin² x ??
    Je suppose que ta question veut dire : comment faire pour vérifier que la solution trouvée vérifie bien l'équation.
    Si c'est ta question alors :
    on a x = , donc sin(x) = 1 donc sin²(x) = 1² = 1.

    Je pense que tu es capable de faire le reste et de vérifier que l'équation est bien vérifiée.


    Une fois que tu as fini cela et bien compris, passe au cas où sin(x) = .

  23. #22
    xizor

    Re : Résolution d'une équation trigonométrique

    donc dans le cas de
    2 sin² x = 1 + sinx

    2 (sin(x) * sin(x) = 2
    2 (1*1) = 2

    1+sinx = 2
    donc pi/2 est une des réponses

    puis je travail en ce sur le -1/2 présenetement ...

  24. #23
    xizor

    Re : Résolution d'une équation trigonométrique

    arcsin(-1/2) est 11pi/6

    par le même raisonnement

    2 (11pi/6 * 11pi/6) ne vaut pas 1+11pi/6 ?!?!
    Dernière modification par xizor ; 29/11/2005 à 02h45.

  25. #24
    nissart7831

    Re : Résolution d'une équation trigonométrique

    C'est juste si tu te mets sur l'intervalle [0, 2 ] puisque , c'est presque 2.

    Mais toi, tu te limites à l'intervalle [], donc tu dois exprimer cet angle entre ces deux valeurs.

    Aide toi de ton cercle trigonométrique pour voir comment cet angle peut aussi s'écrire.

  26. #25
    nissart7831

    Re : Résolution d'une équation trigonométrique

    Citation Envoyé par xizor
    2 (11pi/6 * 11pi/6) ne vaut pas 1+11pi/6 ?!?!
    Ta vérification n'est pas bonne, puisque ce n'est pas x directement qu'il faut prendre pour vérifier l'équation, mais sin(x), c'est-à-dire ici -\frac{1}{2} .

  27. #26
    nissart7831

    Re : Résolution d'une équation trigonométrique

    Citation Envoyé par nissart7831
    -\frac{1}{2} .
    Petite erreur d'affichage :

    Il fallait bien sûr lire !

  28. #27
    nissart7831

    Re : Résolution d'une équation trigonométrique

    Bon Xizor, il faut que je m'en aille, alors je te donne la dernière réponse si tu veux vérifier avec tes résultats

    La manière d'écrire ton angle qui vérifie sin(x) = est x= .

    A+

  29. #28
    xizor

    Re : Résolution d'une équation trigonométrique

    Citation Envoyé par nissart7831
    Ta vérification n'est pas bonne, puisque ce n'est pas x directement qu'il faut prendre pour vérifier l'équation, mais sin(x), c'est-à-dire ici -\frac{1}{2} .
    pour cette partie je comprend, je pense que jai surtout été pris avec ce problème trop longtemps pour y voir clair !

    encore une fois par contre celon les "convention" de note cours pour resoudre ce type d'équation nous devons donner toutes les réponses possible entre 0 et 2pi.

    (la trigonométrie est un chapique que nous ne voyons vraiement pas en détail et qui sera approndie dans un cours prochain, mais pour le besoin d'un cour de physique il nous montre cette base rapidement!)

    donc pour resumer, je suis maintenant confiant que

    2 (sin(x)*sin(x)) = 1 + sin(x)
    2 (sin(pi/2) * sin(pi/2) = 1 + sin(pi/2)
    2 (1 * 1) = 1 + 1
    2 = 2

    et

    2 (sin(x)*sin(x)) = 1 + sin(x)
    2 (sin(11pi/6) * sin(11pi/6) = 1 + sin(11pi/6)
    2 (-0.5 * -0.5) = 1 + -0.5
    0.5 = 0.5

    maintenant, je me demande seulement s'il y a d'autre possibilitées comprise entre 0 et 2pi ???!
    je crois que non, mais j'aurrais besoin d'une petite confirmation!

  30. #29
    xizor

    Re : Résolution d'une équation trigonométrique

    merci encore une fois pour le temps que tu pris pour m'aider !!

  31. #30
    nissart7831

    Re : Résolution d'une équation trigonométrique

    Bonjour,

    Tu dois exprimer tes solutions sur quel intervalle : [ , ] ou [0, 2 ] ?
    Car, suivant tes messages, tu m'as donné soit l'un, soit l'autre. Alors qu'en est-il ?

    Je résume ce à quoi on est arrivé, pour qu'on soit clair :
    L'équation 2sin²(x) = 1 + sin(x) admet les racines 1 et pour sin(x).
    Ce qui veut dire que :
    - si tu dois chercher les solutions sur [ , ] :
    est une solution (c'est pour sin(x) = 1) et l'autre solution est
    (c'est pour sin(x) = )

    Donc, sur l'intervalle [ , ], l'ensemble des solutions est { , }

    - si tu cherches les solutions sur [0, 2 ] :
    est une solution (c'est pour sin(x) = 1)
    Par contre, on a deux solutions qui vérifient sin(x) = qui sont :
    et


    Donc, sur l'intervalle [0, 2 ], l'ensemble des solutions est { , , }.


    Pour information, si tu cherches toutes les solutions sur , l'ensemble des solutions est cette fois :


    en raison de la 2-périodicité de la fonction sin.

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