Equation différentielle

[invite8ad86ab1]

Bonjour, je cherche à résoudre l'équation différentielle suivante :



Je n'arrive pas à trouver le changement de variable adéquat pour rassembler mes y d'un côté et mes t de l'autre. Je suppose que je devrai ensuite résoudre par primitivation vu la forme du problème.

D'avance merci!
-----

[Resartus]

Bonjour,

C'est une équation linéaire, dont (une fois mis le terme en y à droite) la solution générale sera la somme de la solution particulière de l'équation sans second membre et d'une solution particulière de l'équation avec second membre.
l'équation sans second membre peut s'écrire y'/y=1/(1-t^2)... que vous devez savoir résoudre...
Pour la solution particulière, vous pouvez par exemple chercher une solution de la forme y=f(t)*racine(1+t)...

[invite8ad86ab1]

bonjour,

Si je divise mon système par y(t), je me retrouverai avec une équation de la forme , ce qui malheureusement, ne m'avancera pas à grand chose... n'y a-t-il vraiment pas moyen de poser un changement de variable comme par exemple u=1-t^2?

[Rhopi]

Bonjour,

tu n'as jamais résolu une équation différentielle de ce type?

on résous d'abord l'équation homogène

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8ad86ab1]

Bonjour rhopi,

Si mais ce que je ne comprends pas, c’est comment peut-on résoudre ceci comme une équation différentielle linéaire Classique en trouvant une solution homogène puis une solution particulière alors qu’on a des termes en y des deux côtés de l’égalité?

[gg0]

Ben .. il suffit de les mettre tous du même côté :


Cordialement.

[invite8ad86ab1]

Je peux faire ça même si t est ma variable?

[Rhopi]

Ben oui, pourquoi pas

ta variable pourrait s'appeler u,x,v....

[invite8ad86ab1]

Il me semblait que je ne pouvais utiliser cette méthode que si les coefficients devant mes fonctions étaient constants (en l’occurrence le «*coefficient*» serait 1/1-t^2 devant la fonction y). Il est clair que t étant une variable, ce n'est pas un coefficient constant.

Sinon, j’ai demandé à des amis qui m’ont conseillé une autre méthode :

On résout d'abord l'équation , et ce par primitivation : . Ensuite, on résout l'équation de nouveau par primitivation : . En gros, on traite le problème comme une équation à second membre séparé.

A la fin, on additionne les résultats obtenus après chaque résolution pour . J'ai trouvé . Le logiciel Mathématica me fournit une réponse similaire : . Il me manque donc juste la constante, corriger mon problème de signe en vérifiant mes calculs, et je peux finalement supposer que la méthode qu'on m'a recommandée est largement legit.

Merci pour votre temps et votre aide!

[gg0]

Il s'agit bien d'une équation linéaire, mais pas à coefficients constants. Elle se résout de la même façon, mais c'est évidemment plus difficile. la première étape est effectivement de résoudre "l'équation sans second membre", ce qui revient à résoudre , ce que tu as fait imparfaitement, j'y reviendrai .. puis on va chercher une solution particulière qui est une solution de l'équation complète, pas de . Tu as d'ailleurs obtenu un résultat faux, une simple vérification te l'aurait montré (-(1-t) est très différent de +(1+t) ). Résartus t'a donné une indication utile.

Revenons au départ. Pour que l'équation ait un sens, il faut avoir et . Ce qui fait que les solutions ne sont définies que soit sur ]-1,1[, soit sur. La solution proposée par Mathématica n'a de sens que sur ]-1,1[. Le logiciel a fait un choix sans te le dire, c'est normal, c'est un logiciel formel qui "calcule sans savoir". Donc il te faut reprendre la résolution dans les deux cas, et en profiter pour trouver où tu as oublié la constante. A moins que tu aies une condition initiale, qui dira sur quel intervalle on est.

Cordialement.