exercice sur les polynômes

[math47]

Bonsoir,

On vient de commencer le cours sur les polynômes, et j'ai un exercice à faire mais j'ai l'impression de ne pas avoir toutes les clés pour l'instant... Pourriez-vous m'éclairer ?

Voici l'énoncé :

Soient les deux polynômes à coefficients réels A = X⁴ − 4X³ − 12X² + 32X + 64 et B = X³ − 3X² − 6X + 8.
1. Déterminer le pgcd de A et B.
2. Montrer que A a deux racines doubles.
3. En déduire la factorisation de A dans R[X].

Voici ce que j'ai fait :
1. J'ai appliqué l'algorithme d'Euclide aux polynômes et j'ai trouvé PGCD(A,B) = -9X²+18X+72 = -X²+2X+8 Cette solution semble-t-elle correcte selon vous ?
2. Je ne vois pas du tout comment procéder avec un polynôme de degré 4...
3. Je crois qu'elle sera de la forme : (x+?)(x+??)

Merci d'avance,
Bonne soirée
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[gg0]

Bonjour.

1) Mon esclave calculateur formel (Maple) confirme. Attention à ce que tu écris : "-9X²+18X+72 = -X²+2X+8 " est faux !!
2) Voir dans ton cours une condition pour qu'un polynôme ait des racines au moins doubles.
3) Il n'y a pas à croire, mais à savoir ... son cours.

Rappel : Apprendre les méthodes pour pouvoir les appliquer est une façon de faire évidente ... sauf pour de nombreux étudiants actuels. Qui se précipitent pour faire des exercices sans savoir.

[math47]

Merci pour cette réponse !
On ne peut pas simplifier les coefs des polynômes ?
Je n'ai pas encore les propriétés en question dans mon cours on n'a pas encore assez avancé...

[gg0]

"On ne peut pas simplifier les coefs des polynômes ? " si, il y a une infinité de pgcd, tous proportionnels, -9X²+18X+72 et -X²+2X+8 sont tous deux des pgcd, mais ne sont pas égaux, ce sont des polynômes différents. En général, on prend un polynôme unitaire (coefficient dominant 1), ic on prendrait X²-2X-8.
"Je n'ai pas encore les propriétés en question dans mon cours on n'a pas encore assez avancé... " Donc il est inutile de faire cette question d'application du cours puisqu'il n'y a pas de cours à appliquer ...
Mais tu peux réfléchir à ce qui se passe si le polynôme P a une racine double a. Que peux-tu en déduire entre P et P' ?

Bon travail !

[A voir en vidéo sur Futura]

[math47]

"-9X²+18X+72 et -X²+2X+8 sont tous deux des pgcd, mais ne sont pas égaux, ce sont des polynômes différents" donc mon erreur ici n'est pas dans la simplification mais parce que j'ai mis une égalité au lieu d'une équivalence ?

[gg0]

Une équivalence n'aurait pas été mieux, "-9X²+18X+72 <==> -X²+2X+" est aussi faux, les polynômes ne sont pas des phrases.
Écrire des symboles au hasard n'est pas une bonne idée. On met = si c'est le même objet (donc on ne le met pas si ce sont des objets différents, ou si ce sont des phrases). On met <==> si ce sont des phrases qui disent la même chose.
Écrire en bon français (ou en anglais si on est anglais, ou ...) est une très bonne façon de dire les choses.

[math47]

D'accord merci. On a fini le cours ce matin, donc pour revenir sur les deux dernières questions :
2. Je ne vois pas de condition pour qu'un polynôme ait des racines doubles
3. La factorisation sera de la forme (X-a)²(X-b)² c'est bien ça ?

[gg0]

2) J'ai enseigné autrefois en première S et STI ceci :
Le polynôme P a une racine au moins double si et seulement si P et P' ont une racine commune.
Rappel : Deux polynômes qui ont une racine commune ont un pgcd qui a lui aussi cette racine.
3) Oui c'est ça.

Cordialement.

[math47]

Oh merci pour ce rappel ! J'ai calculé les racines du pgcd que j'ai trouvé et on a x1 = -2 et x2 = 4
donc pour la question 3, on a : A = (X+2)²(X-4)²

Et donc pour la question 2, si je dis "le polynôme P a une racine au moins double si et seulement si P et P' ont une racine commune" c'est suffisant comme justification ?

Bonne soirée

[gg0]

Non, un théorème n'est jamais une réponse. Le théorème ne parle pas de ton exercice.
Mais tu peux utiliser ce théorème pour justifier (c'est apparemment ce que tu as déjà fait) qu'il y a bien, dans ce cas, deux racines doubles (Et prouver qu'il n'y en a pas de triple).

Cordialement.

NB : C'est bizarre qu'il faille te rappeler un théorème du cours ! Ton travail d'étudiant n'est-il pas d'apprendre le cours ???

[Merlin95]

Ou alors que dans la factorisation les exposants des (x-racine) est 2 pour les deux racines.

[math47]

Alors pour que la justification soit correcte si j'utilise le théorème puis que je calcule les racines du pgcd, puis-je conclure en disant que comme X²-2X-8 a deux racines alors A et B ont deux racines communes et A a deux racines doubles c'est correct ?

[math47]

Oui j'y ai pensé mais comme on me demande la factorisation après la justification je ne sais pas si c'est la réponse recherchée...

[gg0]

La justification de la question 2 est simplement que le pgcd de P et P' est un polynôme de degré 2 qui a 2 racines. Donc P a deux racines doubles.

Cordialement

[jacknicklaus]

Je sais bien que c'est évident, mais il faudra tout de même mentionner 4B = A' quelque part...sinon on loupe le lien entre questions 1 et 2

[gg0]

J'ai supposé que Math47 avait fait le travail ...

[math47]

Bonjour,

Voici ma rédaction, qu'en pensez-vous ? 16332530226567923225138867135959.jpg

[math47]

Désolé pour la photo de côté, je n'ai pas réussi à changer son orientation

[gg0]

Pour moi c'est clair, tu verras ce que ton prof en dit.