Exercice sur les polynômes

[invite23f521c2]

Bonjour à toutes et à tous, j'ai un exercice de mathématique sur le quel je peine à trouver la solution. Voici l'énoncé:

Soit n un entier non nul. Posons P = (X+1)^(2n) - 1.

1.Montrer qu'il existe un polynôme Q tel que P = XQ
2. Determiner le degré, le coefficient dominant et le terme constant de Q.

Je pensais mettre (X+1)^(2n) sous la forme ((X+1)^n)^2 et faire une identité remarquable, puis faire la somme de (X+1)^-1 et la somme de (X+1)^n +1,mais ça n'aboutit pas
Merci d'avance pour votre réponse.
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[invite51d17075]

plusieurs solutions, dont celle ci

le premier terme vaut 1 et les autres sont en x^k, avec k>0

[invite23f521c2]

Merci pour votre rapidité,
Dans votre démarche, comment on obtient P=XQ?

[invite51d17075]

m'enfin :

plusieurs solutions, dont celle ci

le premier terme vaut 1 et les autres sont en x^k, avec k>0

on en déduit :

on met x en facteur.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

en fait , je répond indirectement à la question 2)
pour la 1) il y a plus rapide. ( et certainement plus attendu )
P(x) est un polynôme de degré 2n et
P(0)=0 donc x=0 est racine de ce polynôme.
donc P(x)=(x-0)Q(x)=xQ(x)

[invite23f521c2]

D'accord ! Merci pour votre réponse et votre rapidité

[pilum2019]

Sympa de lui avoir fait tout son exercice....

[invite51d17075]

ça m'arrive malheureusement parfois, j'essaye de me soigner ....
la 2) reste à finir.