Exercice sur les polynômes

[invite21611135]

Bonjour,

Ba enfaîte je bloque à l'exercice 2 de la fiche d'activité :


Exercice 2 :

1) On considère les polynômes P(x)= -3^2+5x-1 et Q(x)= x^3-x^2+4
Déterminer les polynômes 4P - 7Q et P x Q

Pour la première partie je sais pas si je dois remplacer x dans la fonction p(x) par 4 et pareil pour Q(x) pour -7 mais un théorème nous dit que le produit d'un polynôme de degré n et d'un polynôme de degré m est polynôme de degré n + m et un autre théorème nous dit que la somme et la différence de deux polynômes sont encore un polynôme je bloque juste au fait de ce que je dois faire pour déterminer P et Q


Donc pour déterminer j'ai fais un développement :

4 (-3x^2 +5x-1)= 4 x (-3x^2)+ 4 x 5x - 4 x (-1)

= 36x + 20x - 4
= 56x-4

Donc soit P(x) = 56x-4

2) Dans chaque cas déterminer la composée Q o P des polynômes suivant :

a) p(x)= x^4 et Q(x)= -5^3+x^2-2
b) p(x)= 2x+5 et q(x) = 4x^2-6x

Merci de votre compréhension
-----

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

1) On considère les polynômes P(x)= -3^2+5x-1 et Q(x)= x^3-x^2+4
Déterminer les polynômes 4P - 7Q et P x Q

Pour la première partie je sais pas si je dois remplacer x dans la fonction p(x) par 4 et pareil pour Q(x) pour -7 ...

Non !
Si je pose P = a+b et Q = b-c et que je te demande de donner l'expression de 3P, de 5Q, de 3P-Q ou de PxQ... Que m'écrirais-tu comme réponses ?...
Eh bien là, c'est pareil

... mais un théorème nous dit que le produit d'un polynôme de degré n et d'un polynôme de degré m est polynôme de degré n + m et un autre théorème nous dit que la somme et la différence de deux polynômes sont encore un polynôme je bloque juste au fait de ce que je dois faire pour déterminer P et Q


Donc pour déterminer j'ai fais un développement :

4 (-3x^2 +5x-1)= 4 x (-3x^2)+ 4 x 5x - 4 x (-1)

= 36x + 20x - 4
= 56x-4

Donc soit P(x) = 56x-4

Où est passé le x² ?

2) Dans chaque cas déterminer la composée Q o P des polynômes suivant :

a) p(x)= x^4 et Q(x)= -5^3+x^2-2
b) p(x)= 2x+5 et q(x) = 4x^2-6x

Sais-tu ce qu'est la composée d'une fonction ? Si oui, c'est rapide, sinon revois le cours

Duke.

[gg0]

Bonsoir !

Je ne comprends pas ce que tu as fait :
"Donc soit P(x) = 56x-4" alors que l'énoncé est "P(x)= -3^2+5x-1 ". Ce n'est pas très réfléchi, ça !

Bon ! Le polynôme R=4P -7Q est défini par R(x)=4P(x)-7Q(x). Donc un calcul facile (développer et réduire).

Cordialement.

[invite21611135]

Bonsoir.Non !
Si je pose P = a+b et Q = b-c et que je te demande de donner l'expression de 3P, de 5Q, de 3P-Q ou de PxQ... Que m'écrirais-tu comme réponses ?...
Eh bien là, c'est pareil

Où est passé le x² ?

Sais-tu ce qu'est la composée d'une fonction ? Si oui, c'est rapide, sinon revois le cours

Duke.

J'ai pas trop compris la partie avec l'expression que tu essayes de me faire comprendre mais si je suis ton raisonnement cela va donner
3P - Q = a + b - c ?


gg0 : Je dois développer et réduire l'expression R(x)=4P(x)-7Q(x) c'est sa ? mais comment ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Mais comment ?

Comme d'habitude. Tu fais du calcul algébrique depuis quelques années, non ?

[invite21611135]

Si j'en fais mais je ne sais pas comment m'y prendre c'est sa le problème.

Surtout que c'est pas vraiment mon point fort.

[Duke Alchemist]

Re-

... si je suis ton raisonnement cela va donner
3P - Q = a + b - c ?

Tu n'as pas bien compris
Si P = a+b et Q = b-c alors :

 Cliquez pour afficher

3P = 3(a+b) = 3a+3b
5Q = 5(b-c) = 5b - 5c
3P-Q = 3(a+b) - (b-c) = 3a + 2b + c
PxQ = (a+b)(b-c) = axb + b² -bc

Si tu as (enfin) compris, je te propose de le faire avec les expressions de P et de Q.

Duke.

[invite21611135]

Ah là je viens de comprendre !

Donc 4P-7Q = 4(-3^2+5x-1) - 7(x^3 - x^2+4)
= 4 *(-3^2) + 4*5x-4*(-1) - 7*x^3-7*^2-7*4
= -12^2 + 20x+4-7x^3-7x^2-28
= -12^2-7x^2-7x^3+4-28+20x
= 19^2-7x^3-28+20x

Est-ce que c'est sa ?

[Duke Alchemist]

Re-

Ah là je viens de comprendre !

Donc 4P-7Q = 4(-3x^2+5x-1) - 7(x^3 - x^2+4)
= 4 *(-3x^2) + 4*5x+4*(-1) - 7*x^3+7*^2-7*4
= -12x^2 + 20x-4-7x^3+7x^2-28
= ...

Des erreurs avec les signes au cours de la distribution et des oublis de "x" mais tu as compris le principe
Fais plus attention et tu devrais trouver le bon résultat.

Après, tu tentes PxQ

Duke.

[invite21611135]

Merci beaucoup quand j'y pense sa avait l'air très facile le premier.

Mais le petit 2 tu parles de composée d'une fonction je vois pas c'est quoi pourrais tu m'expliquer s'il te plait ?

[Duke Alchemist]

Re-

Ce n'est pas moi qui en parle le premier. Vois ton énoncé

Pour faire simple, tu connais l'expression de deux fonctions ici P(x) et Q(x).
Par définition, la composée Q o P(x) (lire "Q rond P de x") est la fonction Q(P(x)) à savoir qu'il te suffit de remplacer le "x" dans l'expression de Q(x) par l'expression de P(x).
Tu me suis ?

Un exemple, pour plus de clarté :
Soit la fonction f(x) = x²+3 et g(x) = -x+5.
La fonction fog(x) = f(g(x)) = ...

 Cliquez pour afficher

(-x+5)² + 3 = x² - 10x + 28

La fonction gof(x) = g(f(x)) = ...

 Cliquez pour afficher

-(x²+3) + 5 = -x² + 2

Avec cet exemple, on notera que fog et gof sont généralement des fonctions différentes !

Duke.

EDIT : Avec ce genre de fonction, il faut être très prudent avec le domaine de définition.

[invite21611135]

Là sa devient difficile je n'ai jamais fait sa mais je vais essayer de comprendre soit a) P(x)=x⁴ et Q(x)=-5³+x²-2

Donc si je regarde votre exemple je trouve sa en faisant P o Q = x⁴ -5³+x²​-2 c'est sa ?

[Duke Alchemist]

Re-

Non, tu as écrit l'expression de (P+Q)(x)

a) p(x)= x^4 et Q(x)= -x^3+x^2-2

Ce ne serait pas un x en rouge ci-dessus ? Cela fait bizarre, ce "5³"...

Je te propose de bien relire avec les exemples (cachés toujours) et d'y répondre tranquillement à tête reposée demain.

Cordialement,
Duke.

[invite21611135]

D'accord je vais relire c'est bien un 5x³ désolé pour la faute.

Et merci beaucoup pour ton aide ! bonne fin de soirée