Polynomes. ( exercice )

[invitecbade190]

Bonjour à tous,

Soit avec : . On note pour la transposition .
- Calculer : .
- en déduire que : pour tout polynôme et pour toute transposition ( avec : ), est divisible par .
On dira qu'un polynôme est antisymétrique si pour toute transposition , on a : .
Soit . On note sa signature.
- Montrer que tout polynôme antisymétrique vérifie : .
- Montrer que le polynôme est antisymétrique.
Soit un polynôme antisymétrique.
- Montrer qu'il est divisible par dans l'anneau .

Merci pour vos indications.
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[invitecbade190]

Pour la première question :


Alors, je vois mal comment simplifier cette dernière expression. Vous savez comment faire vous ?

Merci d'avance.

[ansset]

bonsoir, je commencerai ainsi :
si la valeur est nulle.
supposons
le numérateur peut s'écrire

le dernier terme pouvant s'écrire :

et le second

on retrouve

ensuite on simplifie un peu tout ça pour avoir

[invitecbade190]

Bonjour ansset :

Merci pour ta réponse.
Alors, en suivant tes indications, je trouve :
Pour la deuxième question, si :
.
et donc :

est ce que c'est ça ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

pour la première j'ai pris le cas aij positif , il faut soit prendre deux écritures, soit ré-écrire sous une forme plus générale pour tout aij.

pour la seconde, je ne vois pas à quelle question tu te réfères.
( pardon, peut être une lecture trop rapide )
Cdt

[invitecbade190]

D'accord. Merci.
Maintenant, on passe à la question suivante :
- Montrer que tout polynôme antisymétrique vérifie : pour tout .
Si on écrit comme produit de transposition : , alors : , et puisque : , alors : .

On passe à la question suivante :
- établir que est antisymétrique ?
Alors, pour toute transposition , on a :

.

Correct ?
Comment établir maintenant la dernière question ? :
Soit un polynôme antisymétrique.
- Montrer qu'il est divisible par dans l'anneau .

Merci d'avance.

[invitecbade190]

Un peu d'aide svp.

[ansset]

je suppose qu'il faut combiner les résultats précédents.
définition de l'antisymétrie
division par (Xi-Xj) => toutes les divisions en fonct des théta.
+ antisymétrie pour le produit des(Xi-Xj)

j'ai 2 soucis 1/2 :
- pas bien saisi comment utiliser la signature ici.
- écriture en latex qui me prend un temps fou.
- pas vraiment le temps de m'y consacrer

j'espère que qcq viendra.
Cdt