constructibilité dans l'espace à 3 dimensions

[MissJenny]

bonjour,

je lisais hier un texte sur la théorie de Galois et la constructibilité de points ou de longueurs dans le plan. J'y ai notamment trouvé ce théorème : le point de coordonnées (x,y) du plan euclidien est constructible ssi l'extension Q(x,y) de Q est finie de de degré une puissance de 2.

du coup je me suis demandé s'il existait une notion de point constructible en dimension 3. Je suppose qu'il faudrait remplacer le compas par un outil capable de "dessiner" une sphère, et pour la règle, soit une règle soit un outil capable de tracer un plan (?). Je ne saurais développer cette idée si elle n'est pas connue, je voudrais juste savoir si elle l'est. Merci d'avance.

ah, et dans ce cas est-ce qu'on a le résultat que le point de coordonnées (x,y,z) est constructible ssi [Q(x,y,z):Q] est une puissance de 3 ?
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[Médiat]

Salut,

Avec un outil capable de dessiner une sphère et un autre qui dessine des sphères, il faut préciser comment ils fonctionnent, par exemple pour le plan faut-il :

1) 3 points
2) 1 point et 1 vecteur normal
3) 1 point et un plan parallèle
4) 1 point sur une sphère (plant tangent)
5) 1 droite et un point
6) 1 droite et une sphère (et un moyen de distinguer 2 plans)
7) etc...

[MissJenny]

merci. Bon j'ai cherché un peu et apparemment personne n'a pris la peine de développer une théorie de la constructibilité dans l'espace. Mais j'ai fini par comprendre que le facteur 2 ne venait pas de la dimension de l'espace. Il vient de ce que, une fois un système de coordonnées choisi, les coordonnées d'un point construit à la règle et au compas vérifient une équation linéaire (intersection de deux droites) ou quadratique (intersection de cercles ou droite et cercle), et donc quand on construit une suite de points, on travaille dans un empilement (une "tour") d'extensions quadratiques de Q. Dans l'espace à trois dimensions, on a beau parler de sphères, les équations restent quadratiques et donc on aura vraisemblablement un théorème analogue à celui du plan (en 2^k).