Equations d'Einstein dans un espace-temps à 2 ou 3 dimensions.

[ASan78]

Bonjour,

Quels sont les objets mathématiques nécessaires (minimaux) afin de définir correctement les équations d'Einstein ?

J'aimerai savoir s'il est possible de trouver une version des équations de la RR/RG dans une espace-temps à 2 dimensions (une d'espace et une de temps) ou 3 dimensions (deux d'espace et une de temps), histoire de s'en servir comme d'un toy-model pour appréhender différents comportements dans des espaces plus facilement manipulables (comment se propage un rayon lumineux dans un espace à deux dimensions à proximité d'une masse M ? calculer des dilatations du temps dans un espace à un dimension, etc...).

Merci d'avance

Asan
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[silberic]

Bonjour,

Je te conseille de jeter un coup d'oeil sur ces cours de Richard Taillet qui sont très bien faits.
http://podcast.grenet.fr/podcast/cours-de-cosmologie/
L'épisode 3 parle de surfaces à 2D.

Pour le reste, on a aussi :

http://podcast.grenet.fr/podcast/int...te-restreinte/

http://podcast.grenet.fr/podcast/cou...vite-generale/

Ça vaut vraiment la peine !
Bon courage !
Eric

[ASan78]

Oh, merci bien

Ca a l'air vraiment intéressant, en effet Je vais y jeter un oeil !

[Gilgamesh]

Bonjour,

Quels sont les objets mathématiques nécessaires (minimaux) afin de définir correctement les équations d'Einstein ?

J'aimerai savoir s'il est possible de trouver une version des équations de la RR/RG dans une espace-temps à 2 dimensions (une d'espace et une de temps) ou 3 dimensions (deux d'espace et une de temps), histoire de s'en servir comme d'un toy-model pour appréhender différents comportements dans des espaces plus facilement manipulables (comment se propage un rayon lumineux dans un espace à deux dimensions à proximité d'une masse M ? calculer des dilatations du temps dans un espace à un dimension, etc...).

Merci d'avance

Asan

Tout le formalisme de la RG est basé sur des notations indicées (du genre i=1, 2, 3 ou µ=0, 1, 2, 3), les indices indiquant les dimensions de l'espace temps, avec sommations implicites sur les indices répétés. Telle que je vois la chose, ne faire les sommations que pour 2 ou 3 dimensions plutôt que sur 4 ne permet pas de simplifier sa compréhension.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ASan78]

Oui, c'est vrai que d'un point de vue conceptuel, ça ne change pas grand chose.

En revanche, il est plus facile de représenter les choses pour des dimensions inférieures. En particulier, j'aimerai représenter de façon graphique certains phénomènes intéressants, notamment l'évolution d'une surface en deux dimensions dans le temps, en fonction d'une répartition de matière donnée.

[mmanu_F]

salut,

il y a en effet des simplifications qui apparaissent quand on diminue le nombre des dimensions. J'avais évoqué la question pour 2+1 D (§ flatland est flat !). Comme l'a dit Gilgamesh, la simplification ne vient pas d'une simplification dans la structure des équations mais dans une simplification du "contenu" de la théorie. On peut remarquer que le cas 1+1D est taillé sur mesure pour la théorie des cordes. La théorie quantique des champs peut aussi être approchée en utilisant les outils de la relativité générale à 0+1D, comme Ed Witten l'a rappelé récemment dans un article de vulgarisation très didactique (il y a aussi la vidéo pour ceux qui veulent le voir en vrai).

J'ai revu passer récemment ses univers à faible dimensionnalité dans le livre "the black hole war" de Lenny Susskind, qui rappelait dans quelle mesure ces derniers avaient aidé, pendant la préhistoire de la correspondence AdS/CFT, à comprendre les mystères de la conservation de l'information par les trous noirs.

Enfin, parce qu'il n'y a pas que la gravité dans la vie, il y a quelques temps, après avoir lu un chapitre des "last recreations" de Martin Gardner, j'avais commencé à jouer un peu à reconstruire la classification périodique des élements dans un univers à 2+1D et c'est une activité que je recommande

[stefjm]

Enfin, parce qu'il n'y a pas que la gravité dans la vie, il y a quelques temps, après avoir lu un chapitre des "last recreations" de Martin Gardner, j'avais commencé à jouer un peu à reconstruire la classification périodique des élements dans un univers à 2+1D et c'est une activité que je recommande

Ca change quoi au tableau periodique?
J'avais joué avec les dimensions d'espace ici : http://forums.futura-sciences.com/ph...e-1-a-5-a.html

[mmanu_F]

Ca change quoi au tableau periodique?

les harmoniques sphériques deviennent des harmoniques circulaires, il y a beaucoup moins de place dans chaque couche pour ranger tes atomes (page 7 ou figure 1). je ne suis jamais allé jusqu'au bout des maths, mais j'avais pas mal joué avec mmon fils à retrouver des noms pour les élements (ceux de Gardner ne plaisaient pas trop) avec dans l'ordre : l'hydrogène, l'hélium, le carbore, l'oxyzote, le fluogène et le néor, pour les deux premières périodes.