suite récurrente définie par et bornée.

[invite92475b40]

Bonjour, j'ai cette suite dans un exercice que je fais pour m'entraîner:

Je suis parvenu à étudier (élémentaire) les variations de la fonction et à montrer par récurrence que .
Mais on me demande de montrer ça :
1 - .
Je ne parviens pas à faire cela, dérouté par le côté variable de la borne supérieure.

2 - Une suite est introduite avec : . Je ne parviens (même) pas à déduire du résultat précédent que est croissante. ( n'aboutit pas, je vais essayer par récurrence de démontrer :
3 - Et ensuite, une nouvelle suite est introduite avec et on demande de montrer que . On a montré juste avant (non évoqué dans ce résumé où je n'énonce que mes difficultés) que converge, et sa limite est notée

Je sollicite humblement votre aide
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[gg0]

Bonjour.

Peux-tu montrer ce que tu as fait ? À priori c'est faux puisque u₀ n'a aucune raison d'être inférieur à 1/4. Et évidemment, si tu n'utilises pas la bonne hypothèse de récurrence, tu n'y arriveras pas.

Cordialement

[jacknicklaus]

Bonjour

quelques indications :
le 1) par récurrence, 2 lignes. écris la propriété à démontrer sous cette forme : 0 < (n+1)u_n < 1
le 2) calcul direct de v_n+1- v_n. En 2 lignes et en utilisant le résultat en 1)

[invite92475b40]

Pour la 2) c'est bien le calcul direct qui semble me poser problème. Je n'ai pas dû bien dormir, l'exercice ne semble pas très difficile...
Pour la 1) je vais essayer, je reviendrai poster des difficultés éventuelles

Réponse au message précédant: C'est a priori pour tout n non nul que u_n est entre 0 et 1/4. Je me base sur le tableau de variation de f entre 0 et 1 pour cela (le maximum est atteint en x=1/2 et vaut 1/4.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Effectivement, il est facile de voir que tous les termes sauf le premier sont entre 0 et 1/4. Pas besoin de récurrence ! Mais ça n'est pas la question. Tu vois facilement que u₁ est inférieur à 1/2. C'est ce qui est dit dans ta propriété. On n'en demande pas plus.
Maintenant, à toi de faire cette preuve par récurrence. À vue de nez, tu n'as pas essayé.

Cordialement.