Bonjour à tous !
Dans un exercice, on me demande de calculer le carré du Laplacien en coordonnées cylindriques, soit
Sachant que je dois arriver à :
Je me sens idiot parce que je sais le faire, mais je dois m'emmêler les pinceaux dans les factorisations et développements, tout bêtement.
Quelqu'un aurait-il la gentillesse de m'éclaircir ?
Merci beaucoup d'avance et bonne soirée !
Martin
soit la somme de 2 opérateurs disons A + B
de sorte que le carré du Laplacien de f est (A+B)((A+B)(f)) = A(A(f)) + A(B(f)) + B(A(f)) + B(B(f))
or :
1°)
2°)
3°)
4°)
car 1/r² est une constante dans une dérivée partielle en theta
il reste à prouver AB = BA pour retrouver la formule de la "correction". J'avoue une certaine perplexité ...
There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
Merci pour votre réponse ! C'est plus compliqué que ce que je pensais alors...
Mais je vois la démarche, merci encore
Hello, j'ai regardé de plus près.
Donc l'auteur du "corrigé" s'est trompé et a cru que (selon mes notations où A et B sont des opérateurs) : (A+B)² = A² +2AB + B².
Or c'est faux car AB n'a en général aucune raison d'être égal à BA. Donc l'expression cible citée dans ton message #1 est fausse. Sauf si dans le contexte que tu as, les opérateurs commutent en raison de propriétés supplémentaires de la fonction scalaire cible.
Si tu développes mon expression en 4 morceaux du message #2 tu retrouves bien l'expression citée dans ce wiki (Laplacien carré = opérateur biharmonique) :
https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89...n_biharmonique
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Merci beaucoup d'y avoir apporté tant de soins !
C'est bien ce que je me disais, je n'arrivais pas à retomber sur la formule voulue... Je ne vois pas de raison particulière de penser que dans ce cas les opérateurs commutent... Mais comme c'est un exercice de mécanique, peut-être que certains termes sont négligeables !
J'essaierai d'attraper le professeur pour lui demander.
Merci beaucoup encore en tout cas !
Tu peux montrer à ton professeur l"équation correcte du wiki, et partir de mon message #2pour les retrouver. Les termes 1 et 4 sont déjà communs, il suffit de développer complètement les dérivées partielles des termes 2 et 3 pour retomber sur le wiki. C'est un bon exercice.
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