Topologie, ouverts fermés

[halika]

Bonsoir, j'ai un exercice en topologie que j'arrive pas a faire:
On note R∗:= R \ {0} et on munit R2 de la métrique d1 : ((x, y),(x', y')) ∈ R2 × R2 → |x − x'| + |y − y'| ∈ R.

1° L’image de l’application h : x ∈ R∗ → (x, x^-1) ∈ R × R est-elle ouverte dans (R2, d1) ?
Est-elle fermée dans (R2, d1) ?
2° Si on munit R∗ de la métrique donnée par l’application h ci-dessus, i. e., donnée par
dp : (x, y) ∈ R∗ × R∗ → |x − y| + |x^-1 − y^-1 ∈ R,
l’espace métrique obtenu (R∗, dp) est-il complet ?

Quelqu'un pourrait bien m'aider svp?

Moi je trouve que c'est ouvert et fermé pour le 1er mais apparemment c'est pas le cas.
Merci
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[gg0]

Bonsoir.

Comment prouves-tu que cette image est ouverte ?
Comment prouves-tu que cette image est fermée ?

Cordialement.

[halika]

Pour montrer que c'est un ouvert, j'ai pris un couple (y,z) dans h(R*) . Ensuite je prend deux boules centrées en x et x^-1 avec pour rayon respectifs r1 et r2 toutes deux appartenant a R*.
Le produit des deux boules appartient a R*xR* qui est inclus dans R2. On obtient alors la boule B((y,z), min(r1,r2)) qui appartient a R2

Pour montrer que c'est fermé je prend le complémentaire et je l'écris comme union d'ouverts

[gg0]

Bonjour.

" je prend deux boules centrées en x et x^-1 avec pour rayon respectifs r1 et r2 toutes deux appartenant a R*" ?? Quel rapport avec l'énoncé ?
"On obtient alors la boule B((y,z), min(r1,r2)) qui appartient a R2" ?? Quel rapport avec l'énoncé ?
Comment pourrais-tu répondre à la question " L’image ... est-elle ouverte dans (R2, d1) ?" sans parler de d1 ?

Applique la définition de "ouvert" à la topologie de (R²,d1), puis regarde ce que ça donne pour L’image de l’application h : x ∈ R∗ → (x, x^-1) ∈ R × R.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[halika]

Bonjour,
Merci pour votre réponse. J'avoue que je suis vraiment nulle en topologie, j'arrive pas a saisir l'essence des choses. J'ai essayé de faire comme vous avez dit mais je suis bloquée à |x1− 1/x1| + |x2 − 1/x2|. Je suppose qu'il faut poser un epsilon ou N mais je sais vraiment pas comment faire

[MissJenny]

Je pense que ça t'aiderait de visualiser l'ensemble en question (l'image de R* par h) et aussi une boule ouverte selon la distance d1.

[halika]

C'est justement ce que j'arrive pas a faire haha. Après quand j'essaye je pense que c'est ouvert

[MissJenny]

essaie de dessiner l'ensemble des points du plan de coordonnées (x,1/x), c'est ce qu'on appelle le graphe de la fonction x -> 1/x . Je pense que tu ne devrais pas avoir de mal à déterminer s'il contient des boules ouvertes ou pas. Un dessin n'est pas une démonstration mais il devrait te donner des idées pour la démonstration.

[gg0]

Bonjour Halika.

Au début, tout le monde est nul en topologie. C'est une discipline difficile, souvent contre-intuitive. Mais il faut absolument comprendre les situations quand elles sont nouvelles, et éviter d'imiter ce qui a été fait dans des situations différentes. Le conseil de MissJenny est excellent.

Cordialement.

[halika]

est ce que l'idée est que si je prend une boule centré en (x,1/x) et que je prend un autre point tel que ses coordonées sont sous la forme (x,1/x) je peux pas trouver epsilon tel que la distance entre les deux points soit < epsilon avec epsilon >0?

[halika]

Ne calcule pas mon message c'est pas vrai