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Endomorphisme d’anneau de R



  1. #1
    Marmus1021

    Endomorphisme d’anneau de R


    ------

    Bonsoir ! J’ai un exercice qui demande de trouver tous les endomorphismes d’anneau de R.

    Donc les fonctions à trouver sont les fonctions f : R —> R telles que pour tout x,y dans R,
    f(x+y) = f(x)+f(y)
    f(xy) = f(x)f(y)
    f(1) = 1

    Je ne sais pas du tout comment m’y prendre, mais peut-être qu’il faut raisonner par analyse synthèse. On m’a donné comme indice de montrer que toute fonction qui convient est nécessairement croissante, mais comment montrer que f est croissante ? C’est possible d’etudier une dérivée ici, sachant qu’on a x et y en paramètres ?

    Voilà je veux bien un peu d’aide svp

    -----

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  3. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Endomorphisme d’anneau de R

    Bonjour.

    Tu peux déjà essayer de trouver d'autres valeurs de f que f(1)=1.
    Tu peux aussi montrer que pour t positif, f(t) est positif (avec f(xy)=f(x)f(y) et x et y bien choisis).
    Question : Tu parles de dérivé, la dérivabilité de f est-elle une hypothèse ? Si ce n'est pas le cas, et si tu ne vois pas le moyen de la prouver, inutile d'y perdre ton temps.

    Bon travail !

  4. #3
    Resartus

    Re : Endomorphisme d’anneau de R

    Bonjour,

    Utiliser le fait que f(x²)=f(x)² est positif pour démontrer que f est croissante, en choisissant par exemple y=racine(t²)

    Pour le reste, il faudra commencer par montrer que f est l'identité sur Q, puis démontrer par encadrements que c'est le cas sur le reste de R
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

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