Démonstration inégalité entre 2 expressions de variances

[fabio123]

Bonjour,

Pour rappel, est la variance des variables aléatoires suivant chacune une PDF gaussienne centrée en 0 (en harmoniques sphériques de Legendre) :



Je considère 2 quantités que je nomme "observable" :

2) Première observable :

donc :



2) Deuxième observable :

donc :


Les facteurs et comme et sont des constantes.


3) Objectif :

Je voudrais prouver que mais j'ai des difficultés à obtenir cette inégalité.

MISE A JOUR : d'après les résultats préliminaires d'un collègue, il se peut que ça soit le contraire, c'est à dire que l'inégalité est plutôt : .

Du coup, je suis un peu perdu, mais je dois vérifier, il devrait y avoir une erreur car quand je fais le calcul numérique avec mon code, je trouve bien que .


Toute aide est la bienvenue, Merci par avance.
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[MissJenny]

bonjour,

ta première expression ne me semble pas correcte. En effet, si les alm sont des variables aléatoires, la somme des alm au carré est encore une variable aléatoire et ne peut a priori être égale à une variance (qui n'est pas aléatoire). Si les alm sont indépendantes, la somme suit une loi du Chi2.

[fabio123]

@MissJenny

la quantité correspond au spectre de puissance angulaire comme on le rencontre en particulier en cosmologie. On peut donc aussi la considérer comme une variable aléatoire.
On est limité par le nombre fini de multipôles utilisés dans le calcul de l'erreur quadratique des , on peut donc calculer aussi une erreur pour chaque comme on le fait pour une variable aléatoire classique (je ne donne pas la formule, ça va encore compliquer les choses).

A part ça, mon problème vient surtout de la démonstration d'un point de vue analytique de l'inégalité entre les 2 quantités (que je nomme "observables" mais là aussi, c'est dans un contexte d'astrophysique, donc vous pouvez ne pas accorder d'importance à cette appellation).

Merci

[MissJenny]

Pour moi, une variable aléatoire ne peut pas être égale à une variance. Peut-être que ce que tu notes Var(alm) est en fait un estimateur de la variance de alm ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[fabio123]

@MissJenny

oui, je suis allé un peu trop vite, il peut y avoir confusion. c'est la variance estimée des , de par le fait qu'on a un nombre fini de multipôles.

As une idée sur l'astuce à appliquer pour prouver l'inégalité ?

Merci

[fabio123]

Bonjour,

les choses avancent dans ma démonstration. Il ne me manque plus qu'à prouver l'inégalité suivante, en prenant et :



avec et qui sont des fonction de (voir ci-dessus) et est croissant alors que est supposé décroissant.

La somme se fait en réalité sur , c'était juste pour rendre plus lisible que je ne l'ai pas écrite dans .

Toute suggestion, piste ou aide est la bienvenue.

Cordialement

[fabio123]

Pourquoi les formules mathématiques n'apparaissent pas sur mon post précédent ? elles me semblent correctement formatées pourtant.

[fabio123]

ah je viens de voir que ça passe finalement. désolé.