Demonstration inegalite

[worxfg]

Bonjour, pour terminer une démonstration j’ai besoins de prouver que pour tout n≥1 et k≥n : 2k-3n-2nk+n^2<0
cependant je n’y arrive pas.
Merci d’avance
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[gg0]

Bonjour.

As-tu essayé les deux pistes évidentes : résoudre l'inégalité en fonction de n (avec k comme paramètre) et résoudre l'inégalité en fonction de k (avec n comme paramètre) ?

Cordialement.

[worxfg]

Merci pour votre réponse, en résolvant l’inégalité en fonction de n j’obtiens k(2-2n)-3n+n^2<0 ce qui implique k>(3n-n^2)/(2-2n) (car 0≥2-2n) avec n différent de 1. On a donc k ≥ 0 pour n≥3 ce qui est vrai. Et pour les valeurs de n=1 et n=2 si je les calcule à part on a 2k-3-2k+1=-2 qui est bien inférieur à 0 et pour n = 2 on a 2k-6-4k+4=-2k-2 qui est bien inférieur à 0. Je peux alors conclure que pour tout n≥1 et k ≥ n on a 2k-3n-2nk+n^2<0 ?

[gg0]

C'est un peu flou, mais une fois démontré que 2k-3n-2nk+n^2<0 est équivalent (pour n>1) à k>(3n-n^2)/(2-2n), il suffit de montrer que (3n-n^2)/(2-2n) est inférieur à n, par exemple en regardant le signe de n-(3n-n^2)/(2-2n); Et comme k >= n ..

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]