Bonsoir à tous,
J'ai un problème avec l'équation différentielle suivante: y''+2y'+2y=Exp(-x)*cos(x)
La solution de l'EASSM est y=Exp(-x)*(K1*cos(x)+K2*sin(x))
On se rend compte que r1=-1+i et r2=-1-i sont racines complexes conjuguées de l'équation caractéristique
On effectue le changement de fonction inconnue: y=Exp(-x)*cos(x)=Exp(-x)*Z avec Z fonction de x
Il vient d/dx[Exp(-x)*Z]=Exp(-x)*(-Z+Z')
d/dx[Exp(-x)*(-Z+Z')]=Exp(-x)*(Z-2Z'+Z'')
d'oû y=2*(Exp(-x)*Z)+2*Exp(-x)*(-Z+Z')+(Exp(-x)*(Z-2Z'*Z'')
après simplifications il reste y=Exp(-x)*[Z+Z'']
On obtient puisque Exp(-x) est strictement positif: E'= Exp(-x)*[Z+Z'']=Exp(-x)*cos(x) On cherche alors une solution particulière de E'
sous la forme: Z= x*(A*cos(x)+B*sin(x)) Z'=(A+Bx*cos(x)+(B-Ax*sin(x))=x*(B*cos(x)-A*sin(x)+(A*cos(x)+B*sin(x))
Z''=((2B-Ax)*cos(x)+(-2A-Bx)*sin(x))=x*(-A *cos(x)-B*sin(x))+(2B*cos(x)-2A*sin(x)) On en déduit (après simplifications):
Z+Z''=2B*cos(x)-2A*sin(x) Il reste donc:
2B*cos(x)-2A*sin(x)=cos(x) cela implique: A=0 et 2B=1 donc B=1/2 en replaçant B dans l'équation initiale:
Z=x*(A*cos(x)+B*sin(x)) d'oû Z=x*(0cos(x)+1/2sin(x)) donc Ypa=1/2*x*sin(x)*Exp(-x)
Tout cela me semble bon mais il manque un cos(x)/2 à ma solution particulière. Quelqu'un voit il ou est l'erreur?
Merci d'avance pour vos réponses Cordialement le fouineur
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