Recherche de formes générales de certaines fonctions.

[khadimulhaq]

Bonjour.
On cheche à déterminer deux fonctions et définies sur , verifant:
et .
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[jacknicklaus]

Couples triviaux qui conviennent :

f(x) = x
g(x) = -x

f(x) = 1
g(x) = 1

f(x) = -1
g(x) = -1

[Merlin95]

Je crois que f(x)=g(x)=±x ne marche pas.

Sinon on trouve aussi sauf erreur :


Ou


J'ai pas mis les solutions où f et g sont "interchangées".

J'ai posé

u(x)=-x/(f(x)g(x))
Soit x=-u(x)f(x)g(x)

Et j'ai multiplié les deux équations entre elles.

Il y a juste pour un passage que j'ai pas démontré et j'ai pas trop regardé si c'est vraiment évident.

[jacknicklaus]

il y a aussi des familles de solutions sur le modèle

[A voir en vidéo sur Futura]

[Merlin95]

Perso je vois pas ces solutions, ma démarche que je mets en spoiler :

 Cliquez pour afficher

Soit : u(x)=-x/(f(x)g(x))
x=-u(x)f(x)g(x)

Multiplication des 2 équations de départ donnent :

f(u(x)) * g(u(x)) = 1/(f(x)g(x))=-u(x)/x

Soit l'équation qu'on nomme (E) :
f(u(x)) * g(u(x))=-u(x)/x

Or x=-u(x)f(x)g(x)
Soit en remplaçant x par u(x)

u(x)=-u(u(x))f(u(x))g(u(x))

f(u(x))g(u(x))=-u(x)/u(u(x))

D' où en utilisant (E) :

u(x)/u(u(x))=-x/u(x)

Soit : u(x)²/u(u(x))=x (E2)
Recherchons les solutions qui dont des polynômes (c'est là où j'ai du mal à justifier que c'est les "seules" solutions).
Soit k le degrés de u.
Deg(u²)=2k
Deg(u rond u) = k²
Donc d'après (E2) on a :
2k-k²=1
k²-2k+1=0
(k-1)²=0
k=1
D'où u(x)=ax+b
En reprenant (E2) :
(ax+b)²/(a(ax+b)+b)=x
a²x²+abx+b²=x*(a²x+ab+b)=a²x²+ x*b*(b+1)
abx+b²=x*b*(b+1)
xb(a-(b+1))+b²=0 pour tout x
D'où b=0
a réel

u(x)=ax=-x/(f(x)g(x))
x(a+1/(f(x)g(x)))=0 pour tout x

f(x)g(x)=-1/a=p=constante réelle
Donc f(x)g(x)=p

On repart des équations de départ :

f(-x/p)=1/f(x)
g(-x/p)=1/g(x)

On recherche les solutions de formes exponentielles
f(x)=a*e^{bx}
g(x)=a'*e^{b'x}
f(x)g(x)=a*a'*e^{x*(b-b')}=p pour tout x
D'où b=b', a*a'=p

Soit :

a*e^{b*(-x/p)}=1/(a*e^{b*x})
a'*e^{b'*(-x/p)}=1/(a'*e^{b'*x})

a²*e^{-b*x*((1/p)-1)}=1
a'²*e^{-b'*x*((1/p)-1)}=1
On obtient déjà a=±1 et a'=±1

Soit p=1 alors :
f(x)g(x)=1 donc
a*a'*e^{x*(b+b')}=1
Donc soit :
a=a'=1
ou
a=a'=-1
et b'=-b

Si p<>1, alors b=0
f(x)=a
g(x)=a'
f(x)g(x)=a*a'=p
Or a=±1, a'=±1
Donc comme p<>1 alors p=-1
Et
a=-a'=1
Ou
a=-a'=-1

Pour résumer, les solutions possibles sont :

2 solutions (cas p=1) :
Pour b réels :
f(x)=e^{b*x}
g(x)=e^{-b*x}

f(x)=-e^{b*x}
g(x)=-e^{-b*x}

Et 2 autres solutions (cas p<>1, p égal alors -1) :
f(x)=1
g(x)=-1

f(x)=-1
g(x)=1

Reste à vérifier qu'elles marchent bien.