exercice fonctions C1 équations diff

[juliejrd]

Bonsoir,
J’ai l’exercice suivant en face de moi :
déterminer toutes les fonctions de classe C1 sur R vérifiant :
pour toux x C R :
f^2(x) = intégrale de 0 à x de (f^2(t) + f’^2(t)) dt + 1 - x
consigne : on pourra réfléchir puis utiliser le TVI pour obtenir 2 équations différentielles.
J’ai commencé par dériver le membre de gauche pour me débarrasser de l’intégrale, mais je ne vois pas comment continuer. De l’aide ?
Merci, bonne soirée
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[MOHAMED_AIT_LH]

Pour tout nombre réel , on a:

Si on dérives par rapport à (après justification) les deux membres, qu'est ce qu'on obtient ?

[juliejrd]

C’est donc ce que j’avais fait, j’obtiens
2 f’(x) f(x) = f^2(x) + f’^2(x) - 1
Donc une equa diff serait f’(x) (2-f’(x)) + f(x) (1-f(x)) = 1 mais elle n’est pas linéaire 🤔🤔

[gg0]

Et réécrit sous la forme f²(x)-2f(x)f'(x)+f'²(x)=1 ?

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[juliejrd]

Merci! j’ai les fonctions f finales f1(x) = C exp(x) - 1 avec C appartient à R et f2(x) = C exp (x) + 1
Bonne soiree

[MOHAMED_AIT_LH]

Il y'a un passage épineux, l'as tu bien justifié? C'est quelque chose comme ça: Si h est une fonction continue sur R vérifiant pour tout réel x alors h est constante de valeur 1 ou constante de valeur -1.