Bonjour ! Je cherche un exercice (MPSI, chapitre espaces vectoriels de dimension finie), et comme nous n'aurons pas le temps de le corriger en classe, j'aimerai savoir si ce que j'ai fait fonctionne...
On considère les fonctions u,v,w définies sur R par :
u(x) = sin(x-1) , v(x) = sin(x) , et w(x) = sin(x+1)
1)Montrer que la famille (u,v,w) est liée.
2)En extraire une base de Vect(u,v,w)
1) Il faudrait trouver a,b,c non tous nuls tels que ∀x∈R, a*sin(x-1) + b*sin(x) + c*sin(x+1) = 0
J'ai trouvé que a=1, b=-2cos(1) et c=1 fonctionnent. Donc la famille est bien liée.
2) ∀x∈R, sin(x-1) + sin(x+1) = 2sin(x)cos(1), donc v ∈ Vect(u,w). Donc Vect(u,w) = Vect(u,v,w). Puis montrons que (u,w) est libre, ce qui suffira à conclure que c'est une base de Vect(u,v,w).
Soit a,b ∈ R tels que ∀x∈R, a*sin(x-1) + b*sin(x+1) = 0.
Et là je ne sais pas si j'ai le droit de faire cela : je prends en particulier x=0 : il vient (b-a)*sin(1)=0, dont b=a. Puis je dérive l'équation : on obtient que ∀x∈R, a*cos(x-1) + b*cos(x+1) = 0. Et encore une fois, pour x=0, on trouve (b+a)cos(1)=0, donc b=-a. Donc j'en déduis que a=b=0, donc que (u,w) est bien libre.
Dites-moi si cela fonctionne, et merci d'avance
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