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Equation différentielle avec second membre trigonométrique



  1. #1
    le fouineur

    Equation différentielle avec second membre trigonométrique


    ------

    Bonjour à tous,

    Voici l'équation proposée: y''+4y=x*(cos(x))² extraite du Monier 2005 MPSI

    j'ai trouvé la solution générale de l'équation sans second membre: y=K1*sin(2x)+K2*cos(2x)

    Arrivé-là je propose de linéariser le second membre: x*(cos(x))²=x*(1+cos(2x))/2

    Je n'arrive pas à trouver une forme de fonction inconnue à identifier, pourriez-vous m'aider SVP?

    Merci d'avance pour vos réponses Cordialement le fouineur

    -----

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  3. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Equation différentielle avec second membre trigonométrique

    Bonjour.

    x*(1+cos(2x))/2 = x/2 + x cos(2x)/2
    On va déjà séparer en deux (*) :
    * x/2 t'amène à essayer un terme en ax+b
    * x cos(2x)/2 incite à prendre un terme ax cos(2x), mais dont la dérivation amène des x sin(2x) à corriger. En fait, on tourne en rond si on ne pense pas à introduire un terme x² sin(2x) (**). Je te laisse continuer ...

    Cordialement.

    (*) par linéarité, une solution particulière est la somme de solutions particulières correspondant à chacun des termes de la somme.
    (**) je ne l'aurais pas trouvé si je n'avais pas eu d'autres outils techniques (méthode de Laplace).

  4. #3
    stefjm

    Re : Equation différentielle avec second membre trigonométrique

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    * x cos(2x)/2 incite à prendre un terme ax cos(2x), mais dont la dérivation amène des x sin(2x) à corriger. En fait, on tourne en rond si on ne pense pas à introduire un terme x² sin(2x) (**).

    (**) je ne l'aurais pas trouvé si je n'avais pas eu d'autres outils techniques (méthode de Laplace).
    @le fouineur Parce que cos(2.x) est solution générale de l'équation sans second membre.

    @gg0 J'ai toujours trouvé la méthode classique artificielle pour la gestion de ces cas (un peu moins depuis que j'ai vu passé le fil à propos des équations diff et des endomorphismes).
    Mais tellement plus facile en Laplace.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  5. #4
    le fouineur

    Re : Equation différentielle avec second membre trigonométrique

    Merci gg0 et stefjm pour vos réponses rapides,

    Je n'ai réussi à identifier que le terme constant de ax+b a=1/8 et b=0

    J'ai essayé d'identifier Ypa=cx*cos(2x) mais les termes en cos(2x) s'annulent mutuellement:

    J'obtiens -4cx*cos(2x)-4c*sin(2x)+4cx*cos(2x)=1/2*x*cos(2*x) et de même pour le terme en d*x²*sin(2x)....

    Merci pour votre aide Cordialement le fouineur

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Equation différentielle avec second membre trigonométrique

    Il faut partir de d*x²sin(2x), voir ce qu'on obtient (en particulier le x sin(2x), mais malheureusement pas tout seul) et recommencer en lui ajoutant ce qu'il faut pour obtenir ce second membre voulu.

  8. #6
    jacknicklaus

    Re : Equation différentielle avec second membre trigonométrique

    Bonjour,

    En ce qui concerne la solution particulière de c'est toujours la même méthode. voir ici https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89...d%27ordre_deux au chapitre "Recherche de solutions ayant une forme particulière"
    On est ici dans le cas (notations de l'article cité) :
    m = 0
    w = 2 (racine simple de l'équation caractéristique), donc p = 1
    A(x) et B(x) de dégré n = 1


    Les solutions se recherchent alors sous la forme
    où alpha et beta sont des polynôme en x de degré inférieur ou égal à n = 1.

    ce qui retombe sur la proposition de gg0. on tombe sur
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    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

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  10. #7
    le fouineur

    Re : Equation différentielle avec second membre trigonométrique

    Merci gg0 et jacknicklaus pour vos réponses rapides, désolé de vous répondre tardivement

    Voila ce que j'ai fait:

    Ypa=x*(a*cos(2x)+b*sin(2x))

    Y'pa=(2bx+a)*cos(2x)+(b-2ax)*sin(2x)

    Y''pa=(4b-4ax)*cos(2x)+(-4bx-4a)*sin(2x)

    il vient: 1*Y''pa+4*Ypa=4b*cos(2x)-4ax*cos(2x)-4bx*sin(2x)-4a*sin(2x)+4ax*cos(2x)+4bx*sin (2x)

    En regroupant les termes en ax et bx -4ax*cos(2x)-4bx*sin(2x)+4ax*cos(2x)+4bx*si n(2x) On voit encore que tous les termes s'annulent mutuellement....

    donc on ne peut pas identifier les termes vu qu'il ne reste que ceux en a et b. je ne vois toujours pas ce qu'il faut faire...

    Merci pour votre aide Cordialement le fouineur

  11. #8
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Equation différentielle avec second membre trigonométrique

    Tu recommences la même méthode inutile, au lieu de suivre nos conseils. C'est normal que tu n'y arrives pas.
    Comme tu n'en tiens pas compte, je ne vais pas les répéter ...

  12. #9
    le fouineur

    Re : Equation différentielle avec second membre trigonométrique

    Bonsoir gg0,

    En adoptant ax+b pour Alpha(x) et cx+d pour Beta(x),j'arrive péniblement à identifier c=1/16 donc y=x²/16*sin(2x)

    Mais pour x/2*cos(2x),il n'y a rien à faire, je n'arrive pas à l'identifier...

    Cordialement le fouineur

  13. #10
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Equation différentielle avec second membre trigonométrique

    Je ne comprends pas ce que tu racontes.

    Soit tu présentes ton calcul, bien rédigé, qu'on comprenne ce que tu fais, soit on ne peut rien pour toi (on n'est pas dans ta tête, ni devant tes brouillons).

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