Factoriser des polynomes

[invited3c83e47]

Bonjour,
Je suis actuellement en train de voir la résolution des polynômes dans C(X) et dans R(X).
Cependant, après avoir lu et relu mon cours et essayé les exercices, j'ai toujours du mal à assimiler le cours.
Chaque factorisation de polynôme est compliqué, ils sont tous différents à mes yeux et je ne sais jamais quoi faire.
Faut-il les résoudre dans C(X) puis ensuite dans R(X) ? Ou bien l'inverse ?
Dois-je faire une division euclidienne ? Dois-je utiliser la méthode de l'identité remarquable ?
Tout est flou…

Auriez-vous la connaissance d'un cours sur Internet (ou sur YouTube) qui pourrait me faire comprendre le cours pour ensuite l'appliquer aux exercices ?
C'est principalement les différentes méthodes de factorisations qui m'intéressent ; c'est à dire, en fonction de certains cas, on applique 'x' méthode, en fonction de certains autres cas, on applique 'x' méthode


Merci par avance de votre réponse.
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[gg0]

Bonsoir.

II ne faut pas rêver, il n'y a pas de règle générale. À toi de voir, parmi les différentes méthodes, celles qui pourraient servir. Bien sûr, plus tu feras d'exercices, plus tu prendras de l'expérience.

Cordialement

[Merlin95]

Il n'y a pas 1000 astuces, tu peux juste les répertorier quand tu en rencontres une sur des cas particuliers (genre polynômes à coefficients entiers par exemple : les racines si rationnelles ie a/b a divisera c^n et b divisera c^0). A part des astuces de ce genre, il n'y a pas de règles automatiques comme dit plus précédemment.

[invited3c83e47]

Bonjour,

Merci Merlin95 et gg0 de vos réponses. Je vais m'exercer et essayer de relier chaque exercice à une méthode, à force de pratiquer je vais finir par comprendre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Oui,

ce qui compte c'est de bien connaître les méthodes, et de voir, dans les exercices, comment la ou les (*) méthodes ont servi.

(*) Un exercice peut très bien se faire de différentes façons.

[invited3c83e47]

Après avoir quasiment compris le cours et fais des exercices tout devient déjà plus clair.
Seul bémol, un exercice revient à plusieurs reprises que je n'ai réussit à faire.
J'ai donc regardé la correction pour essayer de comprendre, mais cela est toujours flou.
Ils utilisent à chaque fois les complexes j et j^2.

Par exemple : Factoriser dans C(X) et dans R(X) : X^3-3

X^3-3=0
X^3=3=&^3
(X/a)^3=1 --> X/a appartient {1, j, j^2}

donc P(X) = (X-a)(X-aj)(X-aj^2)


Pourriez-vous m'expliquer pour il faut utiliser 1, j et j^2 dans cet exercice par exemple ?

[Merlin95]

Tu n'es pas obligé, mais ici on utilise quelque chose d'assez général à savoir les racines énième de l'unité qui j'imagine doit être dans ton cours. Sinon ca serait étonnant (sinon https://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_de_l%27unit%C3%A9).

[gg0]

C'est en effet un classique des cours sur les nombres complexes.

[Merlin95]

La solution qui t'a été donnée est meilleure car elle permet de connaitre les arguments des solutions complexes. De plus, elle permet de vérifier chez toi la maîtrise du nombre complexe j qui est aussi à acquérir : https://fr.wikipedia.org/wiki/J_(nombre_complexe).

Pour illustrer qu'il n'y a pas qu'une seule méthode. En voici une autre qui introduit d'autres astuces dont tu pourrais avoir besoin ou pas dans un autre cadre.

Tu sais ou peut-être pas (peu importe) que :

a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + a*b + b^2)
[Ainsi que a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - a*b + b^2)]
En effet :
(a - b) (a^2 + a*b + b^2)
= a^3 + a^2*b + a*b^2 - ba^2 - a*b^2 - b^3
Il reste plus que a^3 - b^3

Si on pose u = x/cubert(3), ton équation s'écrit :
u^3 - 1 = 0
(ici b = 1)
(u - 1) * (u² + u + 1)
u = 1 et u = (-1 ± sqrt(3) i)/2
Donc donc x = cubert(3), cubert(3) (-1 ± sqrt(3) i)/2 sont solutions. Tu peux vérifier de différentes manières que tu tombes bien sur les mêmes solutions (c'est un bon exercice de révision).