Equivalence de la série x^2/2+x^3/3+x^4/4+x^5/5+...

[invited099ec9f]

Bonjour,

On sait que la série x+x³/3+x⁵/5+x⁷/7+...= Artanh x

Je souhaitais simplement savoir si la série suivante était équivalente à une fonction connue :

x²/2+x⁴/4+x⁶/6+x⁸/8+...

Ou sinon, sait-on exprimer l'une des 2 séries en fonction de l'autre ?

Merci d'avance pour vos réponses.
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[stefjm]

La réponse est oui.

On peut dériver la série entière et obtenir facilement :
avec abs(x)<1

Plus qu'à intégrer en faisant attention au départ et à la constante.

Edit : le lien entre les deux passe peut-être par le ln complexe.

[gg0]

Attention, Stefjm,

tu as dérivé la première. En dérivant la deuxième (celle de la question), on obtient
Donc c'est qu'il faut intégrer et c'est la dérivée de sur le domaine de convergence de la série initiale.

Cordialement.

[stefjm]

Ah, oui, je me suis mélangé les deux séries.
Désolé.

[A voir en vidéo sur Futura]