Intervertir la dérivée partielle et l'opération de moyennage dans le cadre du 𝜒2

[fabio123]

Bonjour,

En utilisant la formule générale d'une Likelihood à partir d'un modèle théorique et considérés comme paramètres dont on veut estimer l'erreur sur sur la valeur fiducielle, on peut écrire la définition d'un élément de la matrice de Fisher :






Nous faisons une hypothèse forte en considérant toutes a likelihood qui est Gaussienne, reliant le avec l'élément de la matrice de Fisher :






On a donc :




En prenant des notations générales and , on peut écrire :






So :






car :

Je voulais simplement quelles sont les conditions requises pour échanger l'opération de moyenne avec la derivée partial dans la définition d'un élément de matrice de Fisher utlisant le chi2, c'est-à-dire :





En effet, si je rajoute une observable suppélemntaire appelée ' dans le , j'aurais la définition suivante du nouveau :



avec la matrice de covariances des observables





Je cherche à prouver que je peux inververtir, dans la formule :



de manière à pouvoir écrire :




Si je peux intervertir l'opération de moyennage et la dérivée partielle par rapport à et , alors je réussi à prouver qu'il n'y a que des zéros sur la ligne et colonne supplémentaire (car un des 2 facteurs sera égal à zéro) excepté pour le dernier élément diagonal.

Mais quelles sont les conditions nécessaires pour intervertir ?

Quelqu'un pourrait m'aider à prouver cette interversion si les choses sont correctes dans mon raisonnement, et si c'est possible, quelles sont les conditions requises ?

Merci par avance pour votre aide.
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[MissJenny]

bonjour,

il y a deux choses que tu devrais préciser je pense :
- ce que tu notes entre crochets, c'est l'espérance?
- tu dérives par rapport à des lambda_i mais il ne sont pas présents dans ton écriture de la vraisemblance (le mot français pour likelihood)

[fabio123]

Oui, excusez moi :

1) les 2 grands crochets représentent la moyenne de la quantité qu'il y a à l'intérieur

2) les et les représentent les paramètres de la matrice de Fisher ( la matrice des paramètres et non la matrice de covariance des observables dénommée par Cov dans mon post). En effet, l'inverse de la matrice de Fisher des paramètres est égale à la matrice de covariance des paramètres, c'est-à-dire les erreurs (variances sur la diagonale et les covariances sur les éléments hors-diagonaux) sur les valeurs de référence (on dit aussi "ficudical" en anglais). Tandis que la matrice de covariance des observables donne l'erreur sur les mesures tout court.

En espérant avoir éclairci le problème.

ps : le contexte étant dans un cadre d'astrophysique, je me demande s'il ne faudrait pas peut-être déplacer ce post dans le forum "Astrophysiciens, physiciens et étudiants avancés" . Le formalisme est avant tout mathématique mais comme les 2 sont utilisés ici, peut être que ça parlera plus à des astrophysiciens/cosmologistes.

Merci

[MissJenny]

au lieu de te demander si tu as le droit d'intervertir espérance et différentiation, pourquoi ne calcules-tu pas les deux expressions? je ne peux pas le faire puisque tu n'as pas dit ce qu'étaient les paramètres lambda.

je peux te donner un exemple qui montre que l'interversion n'est pas possible.

Considère la variable aléatoire X qui suit la loi de Bernoulli de paramètre p, c'est-à-dire que P(X=1)=p et P(X=0)=1-p. L'espérance de X vaut EX=p (<X>=p dans tes notations)

la vraisemblance s'écrit l(x) = px + (1-p)(1-x) où x prend les valeurs 0 ou 1.

si tu dérives par rapport à p tu obtiens (d/dp)l(x) = 2x-1, puis tu en prends l'espérance : E(d/dp l(x))=2p-1

Maintenant fais le contraire, commence par l'espérance : E(l(x))=p^2 + (1-p)^2 et dérive : (d/dp)E(l(x)) = 2(2p-1)

les deux expressions sont différentes (modulo mes éventuelles erreurs de calcul...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[fabio123]

@MissJenny . Merci pour ton contre exemple.

Concernant mon cas, je ne peux pas donner les termes du car les formules sont semi-analytiques (entends pas là que pour calculer la matrice de covariance des observables, il y a dans la formule de chaque élément de la matrice de Fisher une partie analytique et une partie issue de calculs numériques), ce qui rend impossible les choses à écrire ici.

Désolé et merci quand même.