Dérivée partielle dans un système bivariant (en thermo)

[invite0731164c]

Bonsoir,

Je savais pas trop si je devait mettre ce sujet dans la partie physique ou maths, mais comme je pense que ça fait plus partie du domaine de l'analyse que d'un concepte physique, je le met ici.

1) En thermo, Quand on fait une dérivée partielle, on met toujours pour les dérivées partielles (si z=f(x,y)):
ce qui signifie qu'on fait la dérivée partielle de f par rapport à x en laissant y constante, mais je vois pas à quoi ça sert de le préciser, cela étant fait par definition il me semble.

2) Dans un système bivariant (à 2 variables indépendante), dans mon bouquin, il est dit que

Je reconnais à peu près une regle pour la dérivation de composition de fonctions réciproque mais je vois pas exactement comment le montrer.

Merci d'avance pour votre aide
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[0577]

Bonjour,

la formule de 2) est fausse (prendre f(x,y)=xy par exemple).

[invite179e6258]

1) En thermo, Quand on fait une dérivée partielle, on met toujours pour les dérivées partielles (si z=f(x,y)):
ce qui signifie qu'on fait la dérivée partielle de f par rapport à x en laissant y constante, mais je vois pas à quoi ça sert de le préciser, cela étant fait par definition il me semble.

la signification de cette notation est : la dérivée partielle de f par rapport à la première variable pour la valeur y de la deuxième variable (pas juste pour y constant).

[albanxiii]

Bonjour,

Quand trois variables sont liées par une relation de la forme , on a les relations suivantes :

et .

Ca se démontre en exprimant de deux façon différentes et en identifiant les coefficients dans les deux expressions.

On a ,

mais aussi



On injecte l'expression de donnée par la deuxième équation dans l'expression de donnée par la première. On a alors en fonction de et d'où on déduit que le coefficient de est nul et celui de vaut . En le faisant par soi même c'est clair et facile.

Bonne soirée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0731164c]

Bonjour,

la formule de 2) est fausse (prendre f(x,y)=xy par exemple).

En effet. Désolé!

la signification de cette notation est : la dérivée partielle de f par rapport à la première variable pour la valeur y de la deuxième variable (pas juste pour y constant).

hmmm..., j'avoue ne pas cerner la subtilité. On met au lieu de mettre , c'est ça?

Albanxiii=>ok, j'ai compris, merci (j'en ai profité pour aller lire mon cours d'analyse, direction fonction implicite)

J'en profite pour poser une autre question (mais sur un autre fil car apparament c'est mieux)

[invite76543456789]

Bonjour,

Bonjour,

Quand trois variables sont liées par une relation de la forme , on a les relations suivantes :

et .

Ca se démontre en exprimant de deux façon différentes et en identifiant les coefficients dans les deux expressions.

On a ,

mais aussi



On injecte l'expression de donnée par la deuxième équation dans l'expression de donnée par la première. On a alors en fonction de et d'où on déduit que le coefficient de est nul et celui de vaut . En le faisant par soi même c'est clair et facile.

Bonne soirée.

Ca manque un peu de rigueur quand meme, nan?

[albanxiii]

Bonjour MissPacMan,

Etre trois personnes à utliser le même compte, est-ce rigoureux ? Et être trois dans le même appartement n'est pas une raison, a moins que vous n'utlisiez la même brosse à dents pour les trois ?

Pour notre sujet : j'aurais du préciser que je suis physicien. Et donc, je vous fait entièrement confiance pour nous écrire une démonstration qui, elle, sera rigoureuse.

Merci d'avance.

[invite76543456789]

Bonjour MissPacMan,

Etre trois personnes à utliser le même compte, est-ce rigoureux ? Et être trois dans le même appartement n'est pas une raison, a moins que vous n'utlisiez la même brosse à dents pour les trois ?

Quel rapport? Je vous rappelle que le multi compte est interdit et qu'il est par voie de conséquence interdit de poster sous des pseudos differents sous la meme IP, que vient faire la rigueur la dedans?

Pour notre sujet : j'aurais du préciser que je suis physicien. Et donc, je vous fait entièrement confiance pour nous écrire une démonstration qui, elle, sera rigoureuse.

C'est bien pour cela que je precise (pour quiconque la lit) que votre preuve n'est pas totalement acceptable mathématiquement, et qu'il est important de garder cela à l'esprit.

[invite0731164c]

Pas de soucis, je pense l'avoir montré rigoureusement (avec un morceau du th. Des fonctions implicites). C'est juste la dernière question de notation (avec les parenthèses qui me tracasse).

[invitea29d1598]

Bonsoir

Un physicien a toujours besoin de préciser, en particulier en thermo, les "variables qui restent constantes" car il utilise la même lettre pour désigner une grandeur physique qu'elle soit considérée comme une variable ou une fonction (de variables qui peuvent être diverses).

En math, il n'y a effectivement pas d'ambiguité dans une dérivée partielle du fait de la définition même de la fonction qu'on dérive. Mais un physicien n'écrira par exemple pas z=f(x,y) comme tu l'as fait, mais plutôt z=z(x,y) et du coup il passera sans sourciller à y=y(z,x) voire à y=y(w,x) où w sera considérée à la fois comme une nouvelle variable ou comme une fonction de x et de z, et où y est donc associée à deux fonctions différentes (une qui dépend de z et x, l'autre de w et x), le tout dépendant évidemment du sens du vent et de l'humeur de la personne concernée... avec un tel bazar mathématique, tu comprendras qu'il faut préciser qui sont les gentils et qui sont les méchants

Plus concrètement, pour parler de physique (même si on est dans la partie math) dV/dP désigne (en physique) le rapport entre la variation de volume qu'on peut mesurer si la pression varie de dP et cette même variation de pression, mais tu peux faire ça expérimentalement de plein de façons différentes : par exemple en contact avec un thermostat (auquel cas T sera constante et tu travailleras avec le volume V exprimé comme une fonction de P et de T pour te simplifier la vie) ou bien dans une enceinte adiabatique (isolée du point de vue calorifique donc), ce qui impliquera que T varie mais que tu as une autre "fonction thermodynamique" qui est constante (l'entropie si tu fais ça de manière réversible). D'où l'extrême nécessité de préciser les "variables qui restent constantes" afin de savoir ce que tu mesures/exprimes vraiment (en prenant l'exemple simple du gaz parfait tu vérifieras facilement que dV/dP n'implique pas la dérivée de la même fonction mathématique si T est constante ou si S est constante).

[invite0731164c]

en prenant l'exemple simple du gaz parfait tu vérifieras facilement que dV/dP n'implique pas la dérivée de la même fonction mathématique si T est constante ou si S est constante).

Pourrais tu expliciter cela, j'ai essayé sur papier mais je ne vois pas trop.

[invite76543456789]

C'est une question de choix de base, quand tu ecris les coordonnées d'un vecteur dans une base e1,e2, ou dans une base e1,e'2, les coordonnées selon e1 vont changer bien que tu ne changes pas e_1.

Ici c'est pareil tu prend une base (locale) de 1 formes qui est dv, dp, ou ds,dp, la derivées partielles ce sont les projections de la differentielles sur ces 1 formes.

Dit autrement tu derives en fait une fonction differente, obtenue de la premiere apres changement de variable. C'est pas parce que le changement de variable n'affecte pas la premiere coordonnées qu'il ne va pas affecter la derivée partielle de ta fonction selon cette coordonnées (voir la formule de changement de variable).

Moralité, c'est pas tant la variable fixe qu'il faut preciser que la base de 1-forme que tu choisis pour exprimer ta differentielle. Comme l'espace que tu regarde (l'ensemble des triplets tels que pv=t (avec une constante)) est une surface l'espace des 1 formes est de rang 2 (en tout point tu n'a besoin que de deux 1 formes pour exprimer les autres) dire celle par rapport a laquelle on dérive et celle que l'on gele suffit a preciser cette base (la premiere 1 forme est la differentielle de la variable par rapport à laquelle on dérive, l'autre 1 forme est la differentielle de la variable gelée.

[invitea29d1598]

c'est rien de plus que ça en effet. Dans le cas précis que je cite, on a PV=T et S=lnT-ln P (en posant toutes les constantes égales à 1 pour ultrasimplifier, le principe restant le même). Donc si on exprime V en fonction de T et P ou en fonction de P et S ça ne donne pas la même fonction et du coup pas la même expression des différentielles (qui restent liées puisque la variété thermodynamique est de dimension finie fixée pour un système donné).