Équivalent d'une somme avec un arccos

[invite332de63a]

Bonjour, je m'amusais à représenter la spirale de Cyrène (que l'on tournera de ), formée de triangles dont l'angle au point central dans le -ième triangle est définit par . On prendra alors . Au -ième point de la spirale on a alors la distance au centre qui est et un angle qui est (somme nulle pour k=1).

Je me suis donc demandé comment représenter de manière fonctionnelle et de manière assez approchée cette spirale, mais alors il me faut connaitre pour .

Pas de chance, l'arccos situé dans la somme n'a pas l'air de s'exprimer facilement, et même si j'utilise la détermination principale du logarithme complexe, je crois que le log perd, dans le plan complexe, ses propriétés multiplicatives et sommatoires.

A l'aide de Maple, j'arrive à conjecturer que mais malheureusement, mes compétences sont complètements submergées pour montrer cette équivalence (peut-être vrai).

Quelqu'un a-t-il une intuition?

Merci, RoBeRTo
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[invite332de63a]

Double post:

J'en conclurai (si l'équivalent est vérifié) alors que la spirale de Cyrène (après une courte étude) est très "proche" de la courbe .

[phys4]

Bonjour,
J'essaierai de suivre vos calculs, en attendant je peux seulement vous faire une remarque sur une phrase :

Pas de chance, l'arccos situé dans la somme n'a pas l'air de s'exprimer facilement, et même si j'utilise la détermination principale du logarithme complexe, je crois que le log perd, dans le plan complexe, ses propriétés multiplicatives et sommatoires.

La fonction log garde ses propriétés dans le domaine complexe, le log d'un produit est la somme des log.
Vous pouvez donc l'utiliser pour trouver une démonstration.

[invite332de63a]

Merci pour cette réponse Au moins je me coucherai moins bête ce soir XD

Je pensai, peut-être faire un DL de arccos au voisinage de 1, regarder si ensuite on ne peut pas utiliser un théorème sur les séries divergentes à termes équivalents (de signe constant il me semble)...

En plus je pense que est un genre de "super équivalent" car en plus d'avoir un rapport qui convergerai vers 1, la différence entre les deux serait entière (Si un fois de plus cela est vrai -_-''), peut être même que l'on peut encadrer notre somme avec et ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[phys4]

Avez vous essayé l'encadrement par des intégrales minorante et majorante?

Cela devrait encadrer l'équivalent.

[invite332de63a]

Je vais tester cela quand j'aurai un moment, merci