théorème des résidus

[nathanap]

Bonjour,
on commence à voir le théorème des résidus en cours et j'ai essayé de le tester sur un exemple

J'ai choisi comme fonction la fonction inverse, qui est bien méromorphe avec un pôle d'ordre 1 en 0, et le coefficient du terme de degré -1 dans la série de Laurent est évidemment 1.
Je choisis comme contour le carré ABCD avec A=i+1 ; B=i-1 ; C=-i-1 ; D=-i+1. En intégrant sur ce contour, qui contient le pôle, je m'attends donc à trouver comme valeur 2iπ multiplié par le résidu, c'est-à-dire dans notre cas 2iπ.

Or, lorsque je découpe l'intégrale en 4 petites intégrales (une par segment) et que je fais le calcul, j'obtiens 0.

Chaque segment S est une fonction linéaire de [0,1] dans ℂ, sa dérivée est donc un nombre λ.
Ainsi d(S(t)) = λd(t).
Par ailleurs, la primitive de l'inverse de S est simplement la fonction λ^-1ln○S

On trouve donc comme intégrale ln(B)-ln(A) + ln(C)-ln(B) + ln(D)-ln(C) + ln(A)-ln(D) = 0.

Ai-je fait une erreur de calcul, ou bien est-ce que j'ai mal compris le théorème des résidus ou négligé certaines hypothèses qui permettent de l'appliquer ?

Merci d'avance !
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[gg0]

Bonjour.

Ta somme vaut bien 2iπ. Tu l'aurais trouvé sans problème avec un contour circulaire (paramétrage bien plus facile !)
Alors, où est le problème ? Simplement dans le fait que la fonction ln ne se définit pas correctement sur C (même sur C*). Donc tu ne peux pas trouver une fonction "ln" qui a pour dérivée 1/x sur tout ton contour.
Ça ne devrait pas être une nouveauté pour toi que les propriétés habituelles des réels ne se généralisent pas en général sur les complexes. Pire, la fonction ln n'est déjà pas une primitive de 1/x pour tous les cas de réels, par exemple sur les négatifs. Donc tu n'avais aucune raison de "faire comme" en écrivant ce que tu as écrit.

Cordialement.

[nathanap]

Super, c'est très clair !

C'est dingue, ne pas comprendre d'où venait le problème créait une sorte d'angoisse en moi, je suis bien content que tout rentre dans l'ordre dans ma tête. Je vais essayer de me renseigner sur les différentes définitions du ln complexe et voir s'il y a des définitions qui la rendent holomorphe sur certaines régions, tout cela est appétissant.

Merci !

[gg0]

On peut définir une fonction sur, par exemple, , mais elle n'est prolongeable sur qu'avec une discontinuité de .. !! Tu avais déjà le même problème avec la valeur principale d'un angle, prise par exemple sur : Un angle dont la valeur principale diminue à partir de 0 arrive à , puis "saute" immédiatement à une valeur principale de l'ordre de .

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]