Bonjour.
J'étudie le positionnement de courbes paramétrées qui admettent un point singulier M(t0) par rapport à la tangente à ce point singulier.
Je lis que je peux effectuer un développement limité des coordonnées de M(t) = (x(t), y(t)) au voisinage de t = t0, en écrivant :
En prenant par exemple t0 = 0
M(t) = M(0) + t^p * + t^q * + t^q
Avec :
- p < q entiers
- et sont des vecteurs non colinéaires
- est un vecteur tel que |||| ---> 0 lorsque t ---> t0
En un tel point M(0), la courbe C admet une tangente dont un vecteur directeur est . La position de la courbe C par rapport à cette tangente est donnée par la parité de p et q. Si p est impair et q est pair, on a un point d'allure ordinaire. Si p et q sont impairs, on a un point d'inflexion. Si p est pair et q est impair, on a un point de rebroussement de première espèce. Si p et q sont pairs, on a un point de rebroussement de seconde espèce.
Par exemple, si j'étudie la courbe x(t) = t^5, y(t) = t³. On a un point singulier en M(0) et on écrit M(t) = t³ + t^5 . Ainsi, p = 3, q = 5. = et =. La tangente dirigée par est verticale à l'origine.
Autre exemple, si j'étudie la courbe x(t) = 2t², y(t) = t² - t³. On a un point singulier en M(0) et on écrit M(t) = t² + t³ . Ainsi, p = 2, q = 3. = et = .
Dernier exemple, si j'étudie la courbe x(t) = 1+t²+ (1/2) t³, y(t) = t²+ (1/2)t³ + 2t^4. On a un point singulier en M(0) = (1,0). On écrit M(t) = + t² + t³ + t^4 . On a donc p = 2 et = . Par contre = et colinéaire à , donc q = 4 et (qui forme une base avec ) =
Voici ma question après ce long développement :
D'où est-ce que ça sort qu'on a systématiquement est un vecteur directeur de la tangente au point singulier M(0) ? Sachant que je retrouve grâce à p qui est le degré le plus inférieur de t. Et que s'avère systématiquement en effet être un vecteur directeur de la tangente en M(0). D'où sort cette formule avec t^p * ?
Merci.
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