Point singulier d'une courbe paramétrée

[Furinji]

Bonjour.

J'étudie le positionnement de courbes paramétrées qui admettent un point singulier M(t0) par rapport à la tangente à ce point singulier.

Je lis que je peux effectuer un développement limité des coordonnées de M(t) = (x(t), y(t)) au voisinage de t = t0, en écrivant :

En prenant par exemple t0 = 0

M(t) = M(0) + t^p * + t^q * + t^q

Avec :
- p < q entiers
- et sont des vecteurs non colinéaires
- est un vecteur tel que |||| ---> 0 lorsque t ---> t0

En un tel point M(0), la courbe C admet une tangente dont un vecteur directeur est . La position de la courbe C par rapport à cette tangente est donnée par la parité de p et q. Si p est impair et q est pair, on a un point d'allure ordinaire. Si p et q sont impairs, on a un point d'inflexion. Si p est pair et q est impair, on a un point de rebroussement de première espèce. Si p et q sont pairs, on a un point de rebroussement de seconde espèce.

Par exemple, si j'étudie la courbe x(t) = t^5, y(t) = t³. On a un point singulier en M(0) et on écrit M(t) = t³ + t^5 . Ainsi, p = 3, q = 5. = et =. La tangente dirigée par est verticale à l'origine.
Autre exemple, si j'étudie la courbe x(t) = 2t², y(t) = t² - t³. On a un point singulier en M(0) et on écrit M(t) = t² + t³ . Ainsi, p = 2, q = 3. = et = .
Dernier exemple, si j'étudie la courbe x(t) = 1+t²+ (1/2) t³, y(t) = t²+ (1/2)t³ + 2t^4. On a un point singulier en M(0) = (1,0). On écrit M(t) = + t² + t³ + t^4 . On a donc p = 2 et = . Par contre = et colinéaire à , donc q = 4 et (qui forme une base avec ) =

Voici ma question après ce long développement :

D'où est-ce que ça sort qu'on a systématiquement est un vecteur directeur de la tangente au point singulier M(0) ? Sachant que je retrouve grâce à p qui est le degré le plus inférieur de t. Et que s'avère systématiquement en effet être un vecteur directeur de la tangente en M(0). D'où sort cette formule avec t^p * ?

Merci.
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[Furinji]

Le Latex ne s'affiche pas. Est-ce normal ?

[Furinji]

Voici mon message avec tous les symboles visibles.

[gg0]

Bonjour.

Finalement, le LaTeX s'est affiché.
Pour comprendre pourquoi tu obtiens la direction de la tangente (quand il y en a une), il te suffit de regarder la droite (SM) où S est le point singulier et M un point proche de la courbe M(x(t),y(t)), et ce qui se passe quand t tend vers t0, donc quand M se rapproche de S. La direction limite est bien celle de v.
Ce n'est qu'une généralisation de la notion de tangente que tu as vue au lycée.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Furinji]

Je vois. Puisque mon vecteur dérivé est nul en S, il ne m'indique aucune direction. Je reviens donc à la limite t-->to de (y(t)-y(t0))/((x(t)-x(t0)) et je regarde ce qu'il se passe. Si p est le degré minimal des deux polynômes, en factorisant par t^p, j'ai une limite qui tend vers a/b (avec a et b coefficients de t^p de y(t) et x(t), respectivement). Du coup = .

Et en considérant p non nul. Car les termes de puissances nulles des polynômes y(t) et x(t) ne font que translater ma courbe, sans changer la direction des tangentes. (Comme c'est le cas dans le dernier exemple que j'ai cité).

Merci.