DIstribution de Dirac.

**Anonyme007** · 18/04/2022, 03h49

Bonsoir,

Sur le lien suivant, https://fr.wikipedia.org/wiki/Distribution_de_Dirac , paragraphe : Représentations de la fonction $\delta$ , on dit, d’après le théorème fondamental de l’analyse, que, pour toute fonction continue, $f$ , on a : $\displaystyle \lim_{ a \to 0 } \ \dfrac{1}{2a} \displaystyle \int_{ -a }^{a} f(x) dx = f(0)$ . Pouvez vous m'expliquer pourquoi ?

Merci d'avance.

**gg0** · 18/04/2022, 07h20

Un exercice basique d'analyse de L1.
Tu peux utiliser le théorème de la moyenne, ou bien utiliser que f est bornée sur [-a,a] pour encadrer l'intégrale.

**Anonyme007** · 19/04/2022, 01h31

Merci pour ta réponse gg0.
Je viens de trouver tout à l'heure, une réponse utilisant le théorème fondamental de l’analyse comme demandé. La voici,
On pose, pour tout $a \in \mathbb{R}$ , $F(a) = \dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{ -a}^{a} f(x) dx = \dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{0}^{a} (f(x)+f(-x)) dx$ .
Par conséquent, pour tout $a \in \mathbb{R}$ , $F'(a) = \dfrac{1}{2} (f(a)+f(-a))$ .
Alors, $\displaystyle \lim_{ a \to 0 } \dfrac{1}{2a} \displaystyle \int_{ - a }^{a} f(x) dx = \displaystyle \lim_{ a \to 0 } \dfrac{F(a)}{a} = \displaystyle \lim_{ a \to 0 } \dfrac{F(a) - F(0)}{a-0} = F'(0) = \dfrac{1}{2} (f(0)+f(-0)) = f(0)$ .
Cordialement.

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