Distance à un hyperplan

[Marmus1021]

Bonsoir ! Je n’ai pas de formule pour calculer la distance à un sous-espace vectoriel F dans mon cours, mis à part celle avec inf||y-x||, où y appartient à F.

Or j’ai ici un exercice où on se place dans R_n[X]. On pose H={P de R_n[X] tels que P(1)=0}. Il faut déterminer la distance de X à H.

J’ai commencé par montrer que H était un hyperplan. Puis H étant de dimension finie, on peut poser p le projecteur orthogonal sur H. Alors d’après la formule on a d(X,H) = ||p(X) - X||. Mais comment calculer le projecteur ?
Je ne vais quand même pas trouver une base orthonormale de H non ? Pour n=3, ça prend déjà un peu de temps, donc ça me parait trop long de le faire pour n quelconque.

Sinon j’ai vu une formule dans des exercices où on trouvait la distance à un hyperplan H en trouvant un vecteur u dans l’orthogonal de H. Puis on calcule le produit scalaire <x,u> divisé par la norme de u. Mais je n’ai pas cette formule dans mon cours, et je n’arrive pas à la démontrer...
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[Anonyme007]

Bonsoir,

Je te fournis quelques indices à suivre,

Tu appliques la proposition qui affirme,

Il existe une projection orthogonal sur si et seulement si admet un supplémentaire orthogonal dans .

Donc, commences par déterminer .

Tu munis d'abord, d'un produit scalaire, .

Soit, la projection orthogonale de sur .

Soit est une base orthonormale de , avec, .

Alors, est définie, par, pour tout .

Cordialement.

[Anonyme007]

Pardon, je voulais dire,

est définie, par, pour tout .

[MissJenny]

tu n'as pas précisé quelle était la norme sur Rn[X]. Il y en a une foultitude.

[A voir en vidéo sur Futura]