Algèbre linéaire :Matrice/Forme bilinéaire /quadratique

[princesyb]

Bonjour on m’a donné l’exo ci dessous et j’arrive pas à le résoudre
Pouvez vous m’aider svp

Exo
1) montrer que A^t A est la matrice d'une forme quadratique positive sur R^p


Bon déjà je veux déterminer la forme bilinéaire associé à AtA

Soit x et y appartient à Mn,p(R)

Je veux appliquer la formule xtAtAy


J'ai essayé de faire
Soit A=anp et At=bnp


xt(AtA)y= (x1….xp)AtA(y1…yp)=double somme…
La première somme allant de i=1 jusqu’à p
De même que la 2 Eme somme j=1….p
Et le contenu de la somme =(a_ij)(b_ij)(x_i)(y_j)

Esce comme ça ?

Si c’est bon comment déterminer la forme quadratique associé en utilisant l’identité de polarisation ou bien si il y a une autre méthode plus simple je suis preneur
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[Anonyme007]

Bonsoir,
Tu poses, .
Ensuite, tu montres que,
- est une forme quadratiques.
- a pour matrice associée .
- est positive.
Cordialement.

[Anonyme007]

Si tu voudrais savoir pourquoi est positive, regarde ici : https://www.faidherbe.org/~jdebarbie...pdf/corr19.pdf , page : 1, paragraphe, I.3.
On applique la proposition qui affirme que, est positive si et seulement si les valeurs propres de la matrice associée à sont toutes positives.

[princesyb]

J’ai pas compris pourquoi q(x)=<Ax,Ax>

Alors que on a de base A^t A

Moi je sais juste que
Si X appartient ker(A^t,A)<=>t(AX)(AX)=0<=> ( ||AX||_2)^2=0<=>X appartient à ker(A)
2.
Donc peut être c’est a cause de ça de q(x)=<A^tX,A^tX>=<AX,AX>

Esce a cause de ça?

Aussi esce que vous pouvez m’expliquer l’implication du 2. Svp

[A voir en vidéo sur Futura]

[princesyb]

J’ai lu le doc mais je sais pas comment déterminer valeurs propres associé à A^tA

[albanxiii]

Bonjour,

Exo
1) montrer que A^t A est la matrice d'une forme quadratique positive sur R^p

On devine que A est une matrice, mais votre énoncé n'est pas complet. Pouvez-vous le donner dans son intégralité svp ?

[MissJenny]

si on note A' la transposée de A et si on considère le vecteur x comme une matrice nx1, si r est valeur propre de A'A alors il existe un vecteur x non nul tel que A'Ax=rx. On multiplie à gauche par x' et on obtient x'A'Ax=rx'x (r est un scalaire et commute avec toutes les matrices), ce qu'on peut réécrire (Ax)'Ax=rx'x. Mais (Ax)'Ax et x'x sont des carrés scalaires donc positifs et donc la valeur propre r est positive.

[princesyb]

Pourtant c’est ça l’enoncé ,j’ai oublié aucun détail

[princesyb]

Et comment on sais ce sont des carrés scalaire?

Moi je sais juste que A^tA les éléments qui sont sur la diagonal c’est sont des carrés mais pas le reste des éléments de la matrice

[princesyb]

Ah désolé j’ai juste oublié de dire que A appartient à Mn,p(R)
Matrice à n ligne et p colonnes

[MissJenny]

Et comment on sais ce sont des carrés scalaire?

si x et y sont des vecteurs (appartenant au même espace vectoriel) leur produit scalaire est x'y. En fait c'est juste une notation : tu considères les vecteurs d'un espace vectoriel de dimension n comme des matrices nx1 (n lignes et une colonne). C'est très pratique.

[princesyb]

Ok je vois merci aussi pourquoi à toi -on poser q(x)=<Ax,Ax> quel raisonnement a t on fait pour le dire et comment on peut en déduire qu’à sa matrice associé c’est A^tA
D’ailleurs comment calculer le produit scalaire <AX,AX> sachant qu’on sait juste que A est une matrice à n ligne et p colonne

Pourquoi as t-on pas écrit <A^tA,A^tA>

[MissJenny]

je suppose que tu sais que si A et B sont des matrices dont on peut calculer le produit, alors (AB)' = B'A' (je continue à noter A' la transposée de la matrice A). Donc si X est un vecteur de dimension p et A une matrice nxp, la transposée de AX est X'A' et donc le carré scalaire de AX est (AX)'AX = X'A'AX

[princesyb]

J’ai vraiment essayée de comprendre mais j’arrive pas
En quoi (AX)’=carré scalaire(AX)=<AX,AX>= (AX)'AX = X'A'AX

Moi dans mon cours j’ai vu que:
|| ||_2:E->R
x->sqrt(<x,x>)

C’est pour cela je pensais que si on posait x=A’A on aurait q(x)=<A’A,A’A>


Mon problème c’est juste le lien entre faire la transpose et le carré scalaire vu que dans la formule que j’ai écrit il y a pas de transposé


Ou sinon esce qu’il y a une méthode :
On part de A’A et on déduit l’expression de q(x)=<AX,AX>

Peut ete le sens inverse sera plus facile à comprendre pour moi

[gg0]

Bonjour.

Manifestement, tu n'as pas identifié les éléments de la situation !!
"C’est pour cela je pensais que si on posait x=A’A "
Dans ton cours, x est un élément de E, l'espace euclidien (espace vectoriel muni d'un produit scalaire) concerné. Dans ton cas, quel est l'espace vectoriel ? Quel est le produit scalaire ?
Et que te dit de A^t A l'énoncé, que te demande-t-il de démontrer ?

Tu ne peux pas faire un exercice d'application si tu ne connais pas sérieusement ton cours (tu viens d'en citer un tout petit bout, que tu avais utilisé sans le comprendre !!) et si tu ne décodes pas l'énoncé (de quoi on parle, que désigne telle ou telle notation, ...).
Si tu ne fais pas ce travail préalable, tu ne peux même pas comprendre les indications qu'on te donne, on te parle d'une chose tu en comprends une autre !!

Allez ! Au travail, sérieusement : Revois l'ensemble de ton cours, reprends cet exercice basique du début.

Cordialement.

[MissJenny]

Mon problème c’est juste le lien entre faire la transpose et le carré scalaire vu que dans la formule que j’ai écrit il y a pas de transposé

on ne le présente pas comme ça en effet, mais si x=(x1,...,xn) et y=(y1,...,yn) le produit scalaire est <x,y> = x1*y1+...+xn*yn. Si maintenant tu considères x et y comme des matrices nx1. Alors x' est une matrice 1xn (1 ligne et n colonnes) et le produit matriciel de x' par y vaut lui aussi x'y = x1*y1+...+xn*yn (vérifie-le).

[princesyb]

Bonjour merci finalement j’ai compris