rang noyau forme quadratique et bilinéaire

[invitef7cb9c5c]

bonjour
dans un Kev à n dimensions, f forme bilinéaire symétrique et q quadratique associée
pour montrer que q'(x)= q(a) q(x)- (f(a,x))²
est quadratique j'écris q'(x) sous forme de somme de carré:
q'(x)= 1/2 ( [q(a)+ q(x)]²- q(a)²-q(x)²- f(a,x)²
est-ce que ça suffit?
Ensuite on pose q(a)=0 soit a isotrope pour q
et je dois calculer le rang de f' forme polaire de q'... là au secours je suis perdue, je ne sais pas quoi faire!
merci pour vos lumières
fifrelette
-----

[invite57a1e779]

pour montrer que q'(x)= q(a) q(x)- (f(a,x))²
est quadratique j'écris q'(x) sous forme de somme de carré:
q'(x)= 1/2 ( [q(a)+ q(x)]²- q(a)²

Bonjour,

Surtout pas. Une forme quadratique, c'est
– ou bien une somme de carrés de formes linéaires ;
– ou bien pour une forme bilinéaire symétrique .

Dans ton cas, tu as
– ou bien , c'est-à-dire avec , et il te reste à prouver que est une forme bilinéaire symétrique (c'est ce que t'a proposé Thorin il y a quelques jours) ;
– ou bien avec , et il te reste à montrer que est une forme linéaire, pour en déduire que est une forme quadratique, et également en tant que combinaison linéaire des formes quadratiques et .

Si tu réfléchis bien, tu verras que les méthodes ne sont que deux formulations différentes de la même démonstration.

[invitef7cb9c5c]

j'ai oublié une parenyhèse
q'(x)=1/2[(q(a)+q(x))²-q(a)²-q(x)²] - (f(a,x))²

[invitef7cb9c5c]

je n'avais pas compris ce que me disait Thorin
donc il faut montrer que g est bilinéaire avec
(a₁x₁+a₂x2,y)= a₁g(x₁,y)+a₂g(x₂,y)
et
g(x, a₁y₁+a₂y₂)= a₁ g(x,y₁)+a₂g(x,y₂)
et symétrique avec g(x,y)= g(y,x)
n'est-ce pas?
mais comment trouver le rang de f'(x,x) quand q(a)=0 c'est-à-dire
f'(x,x)= - (f(a,x))² et g(x,y)= -f(a,x) f(a,y)?
je sais que je devrais chercher le noyau mais je n'y arrive pas non plus
fifrelette

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Pour le coup de bilinéaire symétrique, tu as compris ce qu'il faut faire.

comment trouver le rang de f'(x,x) quand q(a)=0 c'est-à-dire
f'(x,x)= - (f(a,x))² et g(x,y)= -f(a,x) f(a,y)?
je sais que je devrais chercher le noyau mais je n'y arrive pas non plus
fifrelette

Quel est le noyau de la forme linéaire ?
Quel rapport avec ton exercice ?

[invitef7cb9c5c]

on me demande de calculer le rang de f' qui est la forme polaire de q'
sinon je dirai que, peut-être, le noyau est donné par l'égalité
q'(x)= f'(x,x)= g(x,x)=- (f(a, x))²=0
fifrelette

[invite57a1e779]

Reviens à la définition du noyau de la forme bilinéaire symétrique f'.

[invitef7cb9c5c]

f'(x,x)= 0 si x est orthogonal à x et donc si -(f(a,x))²=0
soit f(a,x)=0 donc x orthogonal à a
Les 2 à la fois est-ce possible?
fifrelette

[invite57a1e779]

La définition de « appartient au noyau de », ce n'est pas «».
Tu confonds avec les vecteurs isotropes.

[invitef7cb9c5c]

si je comprends bien j'ai q'(x)= -f(a,x)²= f'(x,x)
dont je cherche le rang en commençant par chercher le noyau quin'est pas donner par f'(x,x)=0
je cherche dans le cours où je lis x est orthogonal à y et inversement si f(x,y)=0
je ne sais pas comment en déduire le rang du nooyau
fifrelette

[invite57a1e779]

On va reprendre du début.

Que dit ton cours à propos du rang ?

[invitef7cb9c5c]

pas grand chose que je comprenne
x orthogonal à q si f(x,y)=0
le rang de q est l'entier rg(q)=rg(f), le noyau de q est le sous-espace de E: N(q)= {x élt de E l pour tout y elt de E x orthog à y}= inversement
et plus loin dim N(q)= n -rang q et pas grand chose d'autre....
alors je suis perdue
fifrelette

[invitef7cb9c5c]

en plus je me trompe: x orthogonal à y

[invite57a1e779]

N(q)= {x élt de E l pour tout y elt de E x orthog à y}
dim N(q)= n -rang q

Voilà la définition du noyau, et le lien entre le rang et le noyau.

On commence donc par déterminer le noyau.
La forme quadratique est donnée par , et la forme bilinéaire symétrique associée par .
Donc, dans ce cas, orthogonal à signifie que .
Tu relis la définition du noyau : est élément de signifie que pour tout élément de ; que peux-tu en déduire sur ?

[invitef7cb9c5c]

pour tout y, on aura pas toujours f(a,y)=0
donc on a f(a,x)=0...??sans assurance
fifrelette

[invitef7cb9c5c]

comme f est symétrique
pour y élt de E, f(a,x) f(a,y)=0 pour tout x élt de E
et j'en déduit que f(a,y)=0 ... non je ne comprends toujours pas?!
fifrelette

[invitef7cb9c5c]

si on a bien f(a,x)=0=f(a,y) il faudrait peut-être savoir combien il y a de vecteurs orthogonaux à a?

[invitef7cb9c5c]

je dirais qu'il ne peut y avoir q'un seul vecteur orthogonal à a
donc N(q)=1 et rang q= n-1. C'est ça?Est-ce que j'ai compris cette fois?
fifrelette

[invite57a1e779]

pour tout y, on aura pas toujours f(a,y)=0
donc on a f(a,x)=0...??sans assurance
fifrelette

C'est cela, il faudrait que tu puisses t'en convaincre.
Encore que «on aura pas toujours f(a,y)=0»soit à justifier rigoureusement.

[invitef7cb9c5c]

bonjour,
pour tout y , f(a,y) prendra différente valeur, je ne sais pas le dire mieux
alors f(a,x) =0
comme f est symétrique pour y élt de E pour tout x on a alors f(a, y)=0
j'en ai conclut que le noyau de f' est 1
alors rang de f'= n-1
voilà où j'en suis
fifrelette

[invite57a1e779]

pour tout y , f(a,y) prendra différente valeur

Pour passer de à , ce n'est pas le fait que prennent des valeurs différentes qui intervient.

[invitef7cb9c5c]

je sèche , je ne vois pas ce que ça peut-être
Fifrelette

[invite57a1e779]

Pour conclure que f(a,x) est nul, il suffit d'avoir une valeur non nulle pour f(a,y).

[invitef7cb9c5c]

f(a,x)=0 implique que x est orthogonal à a mais est-ce que je peux conclure à son unicité (puisqu'il n'y a qu'un vecteur orthogonal à un autre) ce qui induit que la dim du noyau de f' serait 1.
fifrelette

[invite57a1e779]

Pour conclure que f(a,x) est nul, il suffit d'avoir une valeur non nulle pour f(a,y).

Peux-tu assurer l'existence de tels que ?

[invitef7cb9c5c]

bonsoir
j'y comprends décidément rien, je vais laisser tomber, reprendre les exercices de base et le cours. Après peut-être que ça ira mieux, quoique dans les exercices corrigés dont je dispose il n'y a pas ce type d'exercice.
fifrelette