matrice, rang, noyau, diagonalisation

[invitef7cb9c5c]

bonjour,
soit C = (a_i/a_j))_i,j la matrice de M_n(C) où tous les a_i sont non nuls
je crois que C est de rang 1, qu'en pensez-vous?
fifrelette
-----

[SchliesseB]

on peut donner une relation simple entre la ligne k et la première

[invitef7cb9c5c]

oui c'est ce que j'ai constaté, je voulais savoir si cela signifie bien que la matrice est de rang 1.

[SchliesseB]

on relie son cours et on regarde ce que signifie rang d'une matrice (et peut être aussi que le rang d'une matrice est égal au rang de sa transposée suivant ta définition).

on voit alors que oui, cela signifie que la matrice est de rang 1

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef7cb9c5c]

merci de me confirmer que j'avais bien compris le cours
ma question vient de mon manque de confiance mais aussi parce que dans la suite de l'exercice, en le relisant, j'entrevois mon erreur et je comprends que je ne comprends pas l'énoncé
soit u l'endomorphisme de Cⁿ dont la matrice C par rapport à la base canonique B= (e_i) de Cⁿ
voilà il faut montrer que U est diagonalisable et trouver une base B^' où la matrice de U est diagonale
mon probleme c'est que je n'arrive pas à me représenter ce qu'est U.
merci d'avance pour votre patiente pour les explications.
fifrelette

[SchliesseB]

il faut avoir confiance en ces résultats

soit u l'endomorphisme de Cn dont la matrice C par rapport à la base canonique B= (ei) de Cn

c'est a dire que u(ei)=?
la matrice associée à u dans la base canonique de Cn (qui est (1,0,0,0,...), (0,1,0,0,0...)... et (0,0,0,...0,1)) est la matrice C, on connait donc facilement les u(ei) et donc les u(x) pour tout x

montrer que u est diagonalisable, c'est montrer que C l'est. qu'as tu fais en cours sur cela? (a quel niveau es tu? )

on cherche les vecteurs x tel que u(x)=0 (on sait que c'est un espace vectoriel de dimension ?)
et un vecteur a tel que u(a)=l*a pour un certain l a déterminer

[invitef7cb9c5c]

je reprends des études en L1-L2 math
donc j'ai oublié certaines choses élèmentaires, j'ai de m'accrocher quand même
alors pour C j'ai montrer que l'espace vectoriel associé à la valeur propre 0 est de dimension n-1 donc il y a n-1 0 dans la diagonale de la matrice C diagonalisé
comme j'ai calculer le polynome cractéristique de C : p(x)= x(x-b)
où b est une valeur propre de C
pour trouver un vecteur propre je cherche les solutions de ker(C- b I_d)=0 pour trouver le dernier vecteur de B' (les autres étant ceux de la base définie par ker u) et ce calcule me semble impossible???
Donc la matrice diagonale de C s'écrit avec que des 0 sauf 1 valeur propre b
(b0.....0)
(00.....0)
(....0.....)
(0...000)
il faut avoir confiance en ses résultats mais là c'est bizarre
merci pour les explications sà propos de l'endomorphisme
c'est u(e) et u(x) qui me troublent
fifrelette

[invitef7cb9c5c]

pour le polynome je me suis trompée c'est P _C(x)= x^n-1(x-b)

[SchliesseB]

mais il faut trouver ce b, c'est la question

u(ei)=Somme sur k des (ai/ak) ek
u(Somme(bi ei))=Somme sur k des (Somme sur i des bi(ai/ak) ek)

on cherche a ce que ceci soit égal à un certain b Somme(bi ei) en choisissant bien les bi.

on écrit ceci en se servant que les ei sont une base

est ce possible ?

[invitef7cb9c5c]

là j'ai rien compris!?
je suis désolée
fifrelette

[SchliesseB]

pas de soucis

on cherche un vecteur tel que (on cherche les et b)

on écrit donc :



(j'ai peut être fait une faute ici, vérifie)



on veut que ceci soit égal à


donc que (et pourquoi?) pour tout k




on peut surement trouver b (je cherche aussi)

[SchliesseB]

je n'aboutit pas au final, néanmoins, si on suppose le résultat vrai (diagonalisable) on sait que on a une seule valeur propre non nul, et donc que celle ci est égale à trace (C) (trace indépendante de la base) et donc à n

reste à montrer que b=n admet une solution (pour les )

[God's Breath]

La matrice est de rang 1, donc le noyau de u est de dimension n-1, et c'est l'espace propre pour la valeur propre 0.
A la dernière valeur propre b non nulle, correspond donc une droite propre, qui est en fait l'image de u (qui est de dimension 1), parce que .

Or l'image est engendrée par :

donc on peut calculer la dernière valeur propre b en écrivant

[invitef7cb9c5c]

merci pour ton aide
je n'ai pas encore trouver mais je vais me coucher
bonne nuit
fifrelette

[SchliesseB]

je vais reformuler l'idée de God's Breath pour t'aider

tu as montré que l'ensemble image de par u était un espace de dimension 1 (rang 1)
c'est à dire qu'il existe un certain vecteur Y tel que pour tout vecteur X
u(X)=alpha(x) Y ou alpha(x) est un scalaire qui dépend de x.

en particulier, u(Y)=alpha(y)Y et donc Y est nécessairement un vecteur propre

cela est finalement logique

convient donc
reste à calculer u(Y) et trouver (finalement d'après mon message précédent) u(Y)=nY

ensuite tu n'as plus qu'a trouver une base de Ker(u)

[invitef7cb9c5c]

bonjour
ça y est , j'ai toruvé mon erreur ne fiat c'était juste avec la vérification que ça collait pas mais c'est là que je me trompait
merci pour votre aide
a plus tard
fifrelette