Polynôme et Th de Rolle

[KANKI]

Bonsoir (ou bonjour suivant l'heure à laquelle vous lisez ^^),
Je faisais un exercice sur les Polynômes.
L'énoncé est le suivant:
Soit P dans R[X] un polynôme de degré n supérieur ou égal à 2.
On suppose que P admet n racines distinctes.
Montrer que P' admet n racines distinctes et que P' est scindés.
En regardant la correction, j'ai vu qu'il fallait utiliser le th de Rolle sauf que si on a une racine complexe il me semble pas que l'on puisse l'utiliser.
Je voulais donc savoir si j'avais loupé quelque chose ou que la correction comportait une coquille ou bien que c'était aussi l'énoncé qui était faux.
Merci à ceux qui me répondront.
Bonne soirée/Bonne journée à vous ^^.
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[Anonyme007]

Bonjour,

Il serait mieux que tu puisses nous rédiger le corrigé de cet exercice, qui figure dans ton livre si tu souhaites avoir une bonne réponse.

Deux points à souligner,

- Le théorème de Rolle porte sur le polynôme dérivé de , et non sur le polynôme lui meme.
- Le théorème de Rolle soulève la question d'existence d'une racine ( au moins ), et non pas toutes les racines sont réelles. Ce qui laisse pour le polynôme dérivé une marge pour contenir des racines complexes.

[albanxiii]

Bonjour et bienvenue sur le forum,

Vous pouvez ignorer la réponse de Anonyme007.

Soit P dans R[X] un polynôme de degré n supérieur ou égal à 2.
On suppose que P admet n racines distinctes.

On vous dit R[X] et n racines distinctes, donc il est entendu que les racines appartiennent au cors de base, soit R.
Sinon, on aurait dit P dans C[X] à coefficients réels.

[Anonyme007]

On vous dit R[X] et n racines distinctes, donc il est entendu que les racines appartiennent au cors de base, soit R.
Sinon, on aurait dit P dans C[X] à coefficients réels.

Eh bien non. Tu te goures. C'est toi qu'on doit ignorer la réponse en fait.

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

Si P est de degré n, P' est de degré (n-1), non?
P' va avoir du mal à avoir n racines distinctes.

Mes deux centimes.

[MissJenny]

Je pense aussi que quand on dit qu'un polynôme de R[X] a n racines on sous-entend "racines réelles".

[jacknicklaus]

Bonjour . Partons sur de bonnes bases :

On vous dit R[X] et n racines distinctes, donc il est entendu que les racines appartiennent au cors de base, soit R.
Sinon, on aurait dit P dans C[X] à coefficients réels.

ca me paraît parfaitement clair.

[KANKI]

Bonjour, voici la correction :
Supposons que P admette n racines distinctes a1<a2<...an.
Montrons que P' admet exactement n -1 racines distinctes. Tout D'abbord, d'après les propriétés du degré des polynômes, P' est de degré n-1. Il admet donc au plus n-1 racines distinctes.
Or, pour tout k dans [I 1, n-1I] on a P(ak)=P(ak+1)=0.D'après le th de Rolle, il en découle l'existence d'un réel bk dans ak,ak+1 tel que P'(bk)=0. Ceci étant vrai pour tout k dans [I1,n-1I], P' admet donc au moins n-1 racines distinctes
Finalement, P' est de degré n-1 et admet n-1 racines distinctes, en particulier, il s'agit d'un polynôme scindé.

[KANKI]

En effet , bien vu , P' a n-1 racines et non n

[KANKI]

Je suis en première année de licence et pour ma part, on nous a toujours dis qu'un polynôme de R[X] était un polynôme à coefficients réels uniquement.
De plus, sinon l'irréductibilité sur R[X] n'aurait à mon avis aucun sens.

[albanxiii]

Eh bien non. Tu te goures. C'est toi qu'on doit ignorer la réponse en fait.

Expliquez moi mon erreur... moi je vais chercher le pop-corn pendant ce temps là...

[albanxiii]

Je suis en première année de licence et pour ma part, on nous a toujours dis qu'un polynôme de R[X] était un polynôme à coefficients réels uniquement.
De plus, sinon l'irréductibilité sur R[X] n'aurait à mon avis aucun sens.

Relisez le message #3, vous avez du lire R là où j'ai écrit C.
Et dans ce contexte évitez les "à mon avis" et balancez de la démonstration mathématique plutôt.

[Anonyme007]

Expliquez moi mon erreur... moi je vais chercher le pop-corn pendant ce temps là...

On vous dit R[X] et n racines distinctes, donc il est entendu que les racines appartiennent au cors de base, soit R.
Sinon, on aurait dit P dans C[X] à coefficients réels.

Je te corrige,
Il faut dire,
''On vous dit R[X] et n racines distinctes, donc il est entendu que seulement les coefficients du polynôme ( et non forcément les racines ) qui appartiennent au corps de base, soit R''.

[Anonyme007]

Bonjour,

Bonjour, voici la correction :
Supposons que P admette n racines distinctes a1<a2<...an.
Montrons que P' admet exactement n -1 racines distinctes. Tout D'abbord, d'après les propriétés du degré des polynômes, P' est de degré n-1. Il admet donc au plus n-1 racines distinctes.
Or, pour tout k dans [I 1, n-1I] on a P(ak)=P(ak+1)=0.D'après le th de Rolle, il en découle l'existence d'un réel bk dans ak,ak+1 tel que P'(bk)=0. Ceci étant vrai pour tout k dans [I1,n-1I], P' admet donc au moins n-1 racines distinctes
Finalement, P' est de degré n-1 et admet n-1 racines distinctes, en particulier, il s'agit d'un polynôme scindé.

La démonstration est correcte, mais ce qui nous a dérouté au début, est le fait que tu ne précises pas que les racines de sont toutes réelles, et ça c'est important, sinon, la démonstration ne marche pas. Donc, tu ajoutes comme hypothèse que les racines de sont toutes réelles.

[KANKI]

une démonstration pour montrer que ça n'aurait aucun sens?
Si un polynôme de R[X] avait nécessairement des racines réelles alors seul les polynôme de degré 1 seraient irréductible (Comme pour les Polynôme de C[X]).
Et puis je vous renvoie à la définiton de polynôme de R[X]:
"R[X] ou C[X], polynômes formels à coefficients réels ou complexes ;"
Je pense donc finalement que l'énoncé de l'exercice avait une coquille car X^3+X est un polynome de R[X]
mais 3X^2+1 n'est apas scindé su R[X]

[KANKI]

c'est justement ceci qui m'a aussi dérouté, l'énoncé ne précise pas que les racines de P sont réelles

[MissJenny]

De toutes façons le théorème est faux dans C. Par exemple le polynôme X^3-1 a dans C trois racines distinctes mais son polynôme dérivé est 3X^2 qui a 0 comme racine double.

[albanxiii]

Je confirme, ignorer ce clown de Anonyme007, aussi nul en français (mais il a une excuse, je crois que cela n'est pas sa langue maternelle) qu'en maths.