Nullstellensatz - Corollaire (Bezout Polynomial ?)

[ChakaSobek]

Bonjour à tous,

Je me permets de vous contacter après avoir cherché une démonstration du corollaire associé au théorème des zéros de Hilbert (Nullstellensatz) :





(capture d'écran d'un polycopié inspiré de ce document https://perso.univ-rennes1.fr/michel...ns/Revelim.pdf (Théorème 10 page 10)).

La démonstration de ce corolaire m'est claire, cependant, en cherchant une démonstration du théorème des zéros de Hilbert, je ne tombe que sur des démonstrations parlant d'idéaux maximaux et de corps algébriquement clos et je ne vois pas le lien, du moins comment nous passons de l'un à l'autre.
Quelqu'un pourrait-il m'expliquer ceci ?

Merci par avance pour vos retour !

Bien cordialement

ChakaSobek
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[ChakaSobek]

Précision : je parlais du théorème des zéros de Hilbert version faible s'écrivant sous la forme :

[Anonyme007]

Bonsoir,

Le théorème des zéros de Hilbert ( le Nullstellensatz ) est à peu près le théorème fondamentale de la géométrie algébrique si je n’exagère pas trop.
J'avais expliqué pourquoi ici, https://forums.futura-sciences.com/m...faisceaux.html , il y a quelques années. ( Tu y trouveras la réponse à tes questions ) Regarde les deux réponses détaillées de invite52487760 ( Mon ancien compte sur ce forum, avant que je demande son annulation auprès des modérateurs ).

Cordialement.

[Anonyme007]

Le passage qu'il faut surtout parcourir de vue dans ce lien que je t’ai indiqué, est la partie suivante,

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... Bref, ce est riche de propriétés algébriques notamment au niveau de l'ensemble de ses idéaux, surtout les idéaux maximaux ( qu'on regroupe dans qui définissent la notion de variété algébrique affine, et les idéaux premiers ( qu'on regroupe dans ) qui définissent la notion de schéma affine.
Pour transmettre les propriétés algébriques de au schéma , on utilise le Nullstellensatz qui affirme qu'il existe une correspondance bijective entre les sous variétés , et les idéaux , regarde ce qu'est le Nullstellensatz dans wikipedia pour te faire une idée de cette correspondance.
Dans la pratique, on traite surtout le cas : avec : est l'idéal qui correspond à la sous variété par le Nullstellensatz.
Le Nullstellesats affirme que et sont adjoint dans la mesure où : et avec : un idéal abstrait et une sous variété. Donc, , et donc, et sont adjoint l'un par rapport à l'autre, et donc, il y'a correspondance biunivoque ( i.e : bijective ) entre les idéaux abstraits de , et les sous variétés dans un schéma ou variété ... Donc, à travers cette correspondance, on transfert les propriétés algébriques de , à l'espace topologique : , et on l'appelle ainsi un schéma ou variété outre la nomenclature : espace topologique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[GBZM]

Bonjour,

ChakaSobek, je ne comprends pas bien ta question. Que demandes-tu exactement ?

Tu ne comprends comment on passe du théorème des zéros faible (la proposition 2.2.3) au fait qu'un système d'équations polynomiales complexes en variables n'a aucune solution dans si et seulement s'il existe des polynômes tels que ?