théorème de rolle

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bonjour,

Auriez vous des exos sur le théorème de Rolle, accroissement finis, valeurs intermédiaires?

Mais des exos assez durs, pas des applications directes du cours


merci d'avance
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[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonsoir, un exo que j'ai eu en cours pas dur mais bon c'est le seul que j'ai en tête

Soit

1) Montrer que admet une unique racine dans notée , que et que pour

2) Etant donné montrer que

3) En déduire la convergence de et en déduire sa limite (rigoureusement)

RoBeRTo

[yootenhaiem]

Bonsoir,

Voila un exo :
Montrer que le polynome P_n defini par :

P_n = [(1-t²)ⁿ]⁽ⁿ⁾

est un polynôme de degré n dont les racines sont réelles, simples et appartiennent a [-1;1]

On l'a fait en prepas . Bon courage

[369]

tu es en quoi Roberto?

[A voir en vidéo sur Futura]

[369]

notons p(x)=-1+x+...+x^n
p'(x) est positif sur R+. Donc p croissante sur R+
Pour la première partie de la 1), on utilise théorème des valeurs intermédiaire car p est continue sur R donc sur R+. 0 appartient à [-1,+inf[ donc il existe cn tel que f(cn)=0. Ce cn est unique car p réalise une bijection de R+ dans [-1,+inf[

Cherchons c1; ici on prend n=1
donc l'équation devient c1=1

[RoBeRTo-BeNDeR]

Moi en L3, sortant de prépa, mais cet exercice est largement accessible en 1ère année. c'est pour cela que je te le passe... puis le niveau n'est pas trop haut lol

[369]

Faut il avoir des connaissances sur les polynomes pour résoudre ton exo Roberto?
Car j'arrive pas à montrer que 1/2<alphan<1

[FibreTigre]

Bonjour,

C'est FibreTigre.

En voilà un sympathique :

Un homme rejoint un village voisin de 10 kilomètres en 1 heure exactement. (Pendant cette heure, il peut faire des pauses, revenir sur ses pas, cueillir quelques fleurs, passer un coup de fil, se mettre à courir comme un fou...).

Démontrez que pendant cette heure il y a 30 minutes continues durant lesquelles il a parcouru les 5 derniers kilomètres qui le séparent de son village.

Bon c'est facile quand on sait que Rolle est dans le coin, mais quand on vous pose cet exo en oral comme ca cela plonge dans la perplexité...

votre ami

FibreTigre

ps : petite blague, j'avais un prof qui me sortait Rolle à toute les sauces donc on disait "il nous les casse, Rolle".

[RoBeRTo-BeNDeR]

369 c'est justement à ce moment là qu'on utilise le théorème des valeurs intermédiaires ...

[369]

mais je l'ai déjà utilisé pour la première partie de la question.
En faite moi je pensais à une récurrence.

Est-ce que c'est possibe?

[369]

je pense pas qu'il y a besoin du théorème des valeurs intermédiaires.
La bijection nous suffit
f(1/2)<f(alphan)=0<f(1) avec 1/2 et 1 appartenant à R+ et f(1/2) et f(1) appartenant à [-1,+inf[
comme f est bijective fof^-1=id
donc 1/2<alphan<1

[RoBeRTo-BeNDeR]

ouais mais fait gaffe f(alphan)=0 ? lol non =1 mais sinon ca me semble correct.

Essaye de me montrer la 2) maintenant elle n'est vraiment pas difficile

[369]

f(alphan)=0 car alphan est une racine non?

[RoBeRTo-BeNDeR]

Ah désolé!! Ce n'est pas racine dans ce sens là!! C'est en gros solution de En donc

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d'accord


PS: Tu veux faire quoi après la L3?

[369]

je viens de penser à une chose: ne faut il pas étudier le sens de variation de la bijection réciproque? car si elle est décroissante on change le sens de l'inégalité

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour,
Si une application est strictement croissante et inversible alors son inverse le sera aussi.

Après ma L3 je ne sais pas, je penchais pour une agrégation mais bon on verra

[369]

Pour la question 2) on réutilise la bijection
pour la 3) la suite est décroissante et minorée donc elle converge

moi aussi j'envisage de préparer l'agrégation
Tu vas en quel M1?

[yootenhaiem]

Bonsoir,
Vous avez fait le mien ?

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non pas encore.
Nécessite il des connaissances sur les polynômes?

[yootenhaiem]

Non non, allez y il est tres sympathique

[RoBeRTo-BeNDeR]

Oui mais quelle est la limite ?

Ben je ne sais pas trop pourquoi ? Là je fais un cursus "prépa concours"

[369]

donkishot, ton terme (n) signifie une puissance ou bien la dérivée n-ième?

[RoBeRTo-BeNDeR]

C'est une dérivée n-ième.

Pour mon exo la limite est 2, tente de la trouver en passant par la comme des termes d'une suite géométrique et ensuite utiliser le fait que comme alors tu as quand (ou un truc du genre...)

[369]

tu es sûr que la limite est 2?

Puis que la définition de la limite est plus n est grand plus alpha n se rapproche d'une valeur qu'elle ne peut atteindre. Or ici la suite est majoré par 1. Donc alpha n ne se rapproche pas de plus en plus de 2

[RoBeRTo-BeNDeR]

1/2 désolé ! -_-'